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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Décomposer \np{8281} en produit de facteurs premiers.
		\item Résoudre l'équation
\[x^2 = \np{8281}.\]
		\item Résoudre l'équation
\[x^2 - 2x + 1 = \np{8281}.\]
		\item Résoudre l'équation
\[x\left(x^2 - 2x + 1\right) = \np{8281}x.\]
	\end{enumerate}
\item Calculer l'expression
\[A = \dfrac{1}{x^3 - 2x^2 + x} + \dfrac{2}{\left(x^2 - x\right)(x + 1)^2} + \dfrac{1}{x^3 + 2x^2 + x}.\]

Soit l'expression suivante :

\[B= \dfrac{2}{\left(x^2 - 1\right) (1 - 2x)}.\]

Calculer le quotient $\dfrac{A}{B}$.
\item Soit l'expression suivante : 
\[C = \dfrac{2x - 1}{x - 1};\]

que représente $C$ pour le quotient $\dfrac{A}{B}$ ?

Calculer la valeur numérique de $C$
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 1$ ; 
		\item pour $x = 2 - \sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une droite $(D)$, on marque quatre points, A, H, C et B, dans cet ordre, tels que
\begin{center}AH $= \dfrac{3a}{2}$, \quad AC $= 2a$\quad et\quad AB $= 6a$.\end{center}

On désigne par (O) et (P) deux demi-cercles de diamètres respectifs [AB] et [AC] situés de part et d'autre de (AB).

Le point O est le centre du demi-cercle (O).

La perpendiculaire en H à (AB) coupe les demi-cercle (O) et (P) respectivement en D et E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD et AE en fonction de $a$.

En déduire les mesures, en degrés, des angles $\widehat{\text{ABD}}$ et $\widehat{\text{ECA}}$, puis celle de l'angle $\widehat{\text{DAE}}$.
\item Le segment [EC] coupe (BD) en F.

Quelle est la nature du quadrilatère ADFE ?

En déduire que ce quadrilatère est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon $R$.
\item Comparer les triangles ACF et AFB et en déduire la mesure de AF.

Vérifier, en la comparant à l'expression trouvée pour R à la question 2.
\item Exprimer en fonction de $a$ la puissance du point H par rapport au cercle trouvé à la question 2.
\end{enumerate}
\end{document}