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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nancy~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A ; l'unité étant le centimètre, on donne AB $= 8$, AC $= 15$.

Une parallèle à l'hypoténuse coupe les segments [AB] et [AC] en D et E respectivement.

On pose AD $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $x$ à 0,1 près pour que l'aire du triangle ADE soit la moitié de l'aire du triangle ABC.
\item Soient $y_1$, et $y_2$, les périmètres respectifs du trapèze DECB et du triangle ADE.

Démontrer que 

\[y_1 = -\dfrac{3}{4}x  + 40 \qquad  \text{et} \qquad y_2 = 5x.\]

\item Représenter graphiquement les variations de ces périmètres lorsque le point D se déplace sur le segment [AB]. (Échelle : 2 pour $x$ et 1/2 pour $y$.)
\item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle les deux périmètres sont égaux.

Comparer avec la solution graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, et soit [AB] un diamètre de ce cercle.

On trace la tangente en B au cercle et l'on porte sur cette tangente BC $= R\sqrt{3}$.

(CA) coupe le cercle en D ; la  droite (CO) coupe le cercle  en E et F (E entre C et O).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CO et CE en fonction de $R$.

Qu'en déduire pour la position du point E sur le segment [CO] ?

Quelle est la nature du triangle OBE ?
\item Calculer CA et BD en fonction de $R$.
\item On mène par E et F les perpendiculaires à (BC) qu'elles coupent respectivement en H et K. 

Comparer les segments [CH], [HB], [BK] ; exprimer leur mesure en fonction de $R$.

Calculer les rapports $\dfrac{\text{BC}}{\text{BA}}$.

Démontrer que les triangles ABC et BOK sont semblables.

Indiquer les angles homologues.
\item La perpendiculaire en O à (AB) coupe (AC) en M.

Quelle est la position de M sur AC ?

Quelle est la nature précise du quadrilatère OMCK ?

Calculer le rapport des aires de ce quadrilatère et du triangle OBK.
\end{enumerate}
\end{document}