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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy-Metz juin 1972~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne les polynômes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& x^2 + x - 6 \quad \text{et}\\
B(x)& =&x^2 - 3x + 2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A(x) + B(x)$, $A(x) - B(x)$ et $A(x) \cdot B(x)$.
\item On pose $A(x) = C(x) + (x - 2)$ et $B(x) = D(x) + (x - 2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $C(x)$ et $D(x)$.
		\item En déduire une décomposition en produits de facteurs du premier degré des polynômes $A(x)$ et $B(x)$.
		\item Calculer $\dfrac{A(x)}{B(x)} + \dfrac{4}{1 - x}$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels les équations 
\begin{center}$A(x) = 0$ \qquad et \qquad $B(x) = 0$,\end{center}
puis le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
A(x) &= &0,\\
B(x) &=&0.
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Cette question est indépendante des deux premières.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation des fonctions définies par
\begin{center}$y_1 = x + 3$\qquad et \qquad $y_2 = 1 - x$.\end{center}
		\item Représenter graphiquement les variations de ces fonctions dans un repère orthonormé.

Soit $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ les droites obtenues ; elles se coupent en M.

De plus, l'axe des abscisses coupe $\left(D_1\right)$ en A et $\left(D_2\right)$ en B.

Calculer les coordonnées des points M, A et B.

Calculer l'aire du triangle (MAB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Sur une droite $xy$, on place deux points, I et H, tels que IH $= 4$.

On trace le cercle (I), de centre I et de rayon 5 ; il coupe la perpendiculaire en H à la droite $xy$ en A et en B.

Soit O le point de $xy$ extérieur au segment [IH] et tel que HO $= 2$, et (O) le cercle de centre O et de rayon OA.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point H a même puissance par rapport aux cercles (I) et (O).

Évaluer cette puissance.

Calculer la longueur du rayon du cercle (O).
\item La droite $xy$ coupe le cercle (O) en C et en D (C est entre I et H) ; elle coupe le cercle (I) en C$'$ et en D$'$ (C$'$ est entre O et H).

Démontrer la relation 
\begin{center}HC $\cdot$ HD = HC$'\cdot$ HD$'$.\end{center}
\item On mène la tangente en C au cercle (O). Elle coupe le demi-cercle (C$'$AD$'$) en P.

La droite (PH) recoupe le cercle (I) en Q.

En utilisant la première question, démontrer que les triangles (HPC) et (HDQ) sont semblables.
\item En déduire que DQ et HQ sont perpendiculaires et que les quatre points P, C, D et Q appartiennent à un même cercle ; trouver un diamètre de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}