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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy-Metz juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

 On considère l'application $f$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[f(x) = 9x^2 - 1 - (3x + 1)(4x - 5).\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'une fonction polynôme.
\item Mettre $f(x)$ sous (orme d'un produit de deux facteurs.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

On considère les deux applications $f$ et $g$, de $\R$  dans $\R$, défi nies par
\begin{center}$f(x) =  x^2 - 10$\quad et\quad $g(x) = - x +3$,\end{center}
et l'application composée $h = f \circ g$.

($ f \circ g$ signifie \og $g$ suivie de $f$ \fg)

Calculer l'image de $\sqrt 2$ par l'application $h$ et $h(x)$.

\medskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

$a$ et $b$ étant deux nombres réels, soit la fonction affine, $f$. définie par
\[f(x) = ax + b.\]

Déterminer $a$ et $b$ sachant que

\begin{center} $f\left(\dfrac12\right) = - 2\quad $\quad et
 $f\left(- \dfrac12\right) = - 4$.\end{center}

Représenter graphiquement la fonction obtenue.

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Soit trois points, A, B et C, d'un plan euclidien $(P)$, muni d'un repère orthonormé \Oij.

A a pour coordonnées 1 et $- 3$ ; 

B a pour coordonnées 5 et 5 ;

M a pour coordonnées 0 et 2,5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point C, symétrique de B par rapport à M.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(B, C) et $d$(C, A) et démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle passant par les points A, B et C.

Démontrer que ce cercle coupe la droite, support de l'axe des abscisses, en deux points.

Quelles sont les coordonnées de ces points ?
\item $\mathcal{A}$ est l'axe qui a pour support la droite (BC) et pour lequel $\overline{\text{CB}}$ est positif.

Calculer les rapports de projection orthogonale 

\begin{description}
\item[ ] de l'axe $\mathcal{A}$ sur l'axe des abscisses, 
\item[ ] de l'axe $\mathcal{A}$ sur l'axe des ordonnées.
\end{description}

Quelle est la somme des carrés de ces deux rapports de projection ?

\medskip

\textbf{N. B.} —  La distance $d$(A, B) peut encore être notée AB.
\end{enumerate}
\end{document}