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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy-Metz juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par
\begin{center}$f(x) = \dfrac x2 + 3$\quad et\quad $g(x) = -2x + 3$.\end{center}

Préciser le domaine de définition et le sens de variation de chaque fonction.

Les représenter graphiquement dans un repère orthonormé.
\item Calculer, pour tout $x$ réel,
\begin{center} $(f \circ g)(x)$\quad et \quad $(g \circ f)(x)$,\end{center}

puis l'image de $\sqrt 3$ par $f \circ g$.
\item Soit $h$ la fonction affine par intervalles définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
h(x)&=& \dfrac x2 + 3,&\: \text{lorsque}\: x \:\text{est strictement négatif}, \: \text{et}\\
h(x)& =& - 2x + 3,&\: \text{lorsque}\: x \:\text{est positif}.
\end{array}\right.\]

Utiliser les résultats de la première question pour étudier la fonction $h$ et la représenter graphiquement.
\item Résoudre graphiquement les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = 4$,
		\item $h(x) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on place les points A, B, C et D dont les coordonnées sont
\begin{center}A$(0~;~- 5)$,\quad B$(6~;~- 8)$, \quad C$(- 4~;~- 8)$ \quad et \quad D$\left(\dfrac{20}{3}~;~0\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées (ou composantes) des 
vecteurs $\vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{OB}}$.
		\item Calculer les distances $d$(O, A), $d$(O, B), $d$(C, A) et $d$(C, B).
		
[On peut remplacer la notation $d$(O, A) par OA.]
	\end{enumerate}
\item Déduire des résultats précédents
	\begin{enumerate}
		\item que les droites (OB) et (AC) sont orthogonales,
		\item que la droite (AB) est la médiatrice du segment [OC].
	\end{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe un nombre réel $k$ tel que 
\[\vect{\text{AD}} = k \vect{\text{AC}}.\]

Qu'en déduit-on pour les points A, C et D ?
\item Soit $a = \text{mes}\widehat{\text{(OAD)}}$.

Calculer $\tan  a$.

Donner un encadrement de l'écart angulaire $a$ à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}