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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par : 
\[f(x)  (x + 1)(3x + 6) - x^2 + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(0),\: f(- 1),\: f\left(- \dfrac72\right),\: f\left(\sqrt 3 + 1\right)$. 

L'application $f$ est-elle bijective ?
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g(x) = \dfrac{(x + 1) (2x - 5)}{x - 1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition de $g$.

Simplifier $g(x)$ ; soit $h(x)$ l'expression obtenue.
\item Déterminer en extension :
\[F  = \left\{x | x \in \Z\: \text{et} \:  - 3 < h(x) \leqslant 7\right\}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on donne le points,\begin{center}A(4~;~3), \quad B(0~;~5), \quad C$(0~;~- 5)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [BC]

Démontrer que le point A appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item La droite (OA) coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en un deuxième point D.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?
\item Soit E le point de coordonnées (10~;~0).

Exprimer en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ les vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BE}}$.

En déduire que les points B, A et E sont alignés.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{OSE}}$.

Calculer $\tan \alpha$ et en  déduire un encadrement de $\alpha$ à un degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Documents autorisés : Tables trigonométriques.}
\end{document}