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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small juin 1984}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip

On considère les applications numériques $f$ et $g$, définies de $\R$ dans $\R$ par: 

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (1-2x)^2 - (5x - 4)(2x - 1)\\
g(x) &=&(2x + 1)(4x - 3) + 1 - 4x^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire el ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer $f\left(10^{-1}\right)$ et $g\left(- \dfrac12\right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = - 3$.
\item Soit la fonction numérique $h$ définie par $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble $E$ des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $h(x)$ est possible?
		\item Simplifier $h(x)$ pour $x \in E$ ; on notera $h'(x)$ l'expression simplifiée.
		\item Calculer $h'\left(\sqrt 2\right)$ ; on donnera le résultat sous forme de quotient dont le dénominateur est un entier naturel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les points 

\begin{center}A(2~;~0), \qquad B(0~;~1), \qquad C$\left(\dfrac32~;~- 1\right)$, \qquad I$\left(2~;~\dfrac52\right)$\end{center}

et on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre I, de rayon IA.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure (on prendra 1 cm comme unité sur chaque axe).
\item Montrer que le cercle $\mathcal{C}$ passe par B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{BI}}$ sont orthogonaux.
		\item Que représente la droite (BC) pour le cercle $\mathcal{C}$ ? 
		
Déterminer une équation de cette droite.
		\item Comparer BC et BI.
	\end{enumerate}	
\item Construire le point C$'$ symétrique de C par rapport à B, et le point I$'$ symétrique de I par rapport à B.

Quelle est la nature du quadrilatère (ICI$'$C$'$) ? 

Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}
\end{document}