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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ dont la représentation graphique sur l'intervalle $[-5~;~+5]$ est donnée ci-contre.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5.5,-8)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5.5,-8)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](-5,0){$-5$}\uput[u](5,0){$+ 5$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-5,-3)(1,3)(2,3)(5,-6)
\psline[linestyle=dashed](-5,0)(-5,-3)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,-6)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture graphique:
	\begin{enumerate}
		\item déterminer $f(-1),\quad f(1),\quad f\left(\sqrt 2\right),\quad f(3)$.
		\item déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)= 1$.
		\item déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x) \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item Sur la même figure tracer la droite d'équation $y = x$.

Résoudre graphiquement l'équation $f(x) =x$.
\item Donner l'expression de $f(x)$ sur chacun des intervalles $[-5~;1]$\:;\quad  
$\left[1~;~\dfrac52\right]$\:;\quad $\left[\dfrac52~;~5\right]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

On se propose de construire un triangle ABC
connaissant la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$, la longueur
du segment [AB] et la longueur du segment [BC].

On donne AB = 10~cm, $\widehat{\text{BAC}} = 45\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure dans les trois cas suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item BC $= 6$ cm,
		\item BC $= 7,5$ cm,
		\item BC $= 12$ cm.
		
Faire trois figures séparées.

Expliquer brièvement la construction et dans chacun des cas dire le nombre de triangles qui répondent à la question.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on se place dans le cas où BC $= 12$ cm. On appelle H la projection orthogonale de B sur la droite (AC). 

Calculer : la distance BH, le sinus de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$, puis une mesure approchée à un degré près de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On donne trois points B, H, C alignés dans cet ordre tels que BC $= 13$ et BH $= 4$ (l'unité de longueur étant le cm). 

Sur la perpendiculaire en H à la droite (BC) on place un point A tel que AH $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, AC et déterminer la nature du triangle ABC.
\item Soit B$'$ le point tel que RB$' = \dfrac34 \vect{\text{HB}}$ et C$'$ le point 
tel que $\vect{\text{HC}'} = \dfrac34\vect{\text{HC}}$.

Donner les coordonnées des points A, B, C, B$'$, C$'$ dans le repère 
$\left(\text{H},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

La parallèle D à (BA) menée par B$'$ coupe (AH) en A$'$.
\item  Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{H},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ tel que $\vect{\text{HC}} = 9\vect{\imath}$ et $\vect{\text{HA}} = 6\vect{\jmath}$.

Écrire une équation de la droite D et une équation de la droite (C'A').
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2y + 9&=&0\\
4x + 6y - 27 &=&0.
\end{array}\right.$
Pouvait-on prévoir le résultat?
Déterminer le quotient $\dfrac{\overline{\text{HA}'}}{\overline{\text{HA}}}$
et en déduire que la droite (A$'$C$'$) est parallèle à la droite (AC).
\item On mène par H la perpendiculaire à (AC) qui coupe (AC) en E et la perpendiculaire à (AB) qui coupe (AB) en F.

Quelle est la nature du quadrilatère AFHE ? 

En déduire la distance EF.
\end{enumerate}





















\end{document}