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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités à dominante numérique}

\medskip

Les quatre questions sont indépendantes.

Si $x$ est la taille d'une personne exprimée en centimètres, les \og poids théorique \fg{} $y$ exprimé en kilogrammes est donné par la formule suivante.

\[y = x - 100 - \dfrac{x - 150}{4}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le \og poids théorique \fg{} d'un élève mesurant $1,50$~m.
		\item Calculer le \og poids théorique \fg{} d'un joueur de basket mesurant 2,10 m.
	\end{enumerate}	
\item Quelle serait la taille d'une personne dont \og le poids théorique \fg{} est 65 kg ?
\item Écrire la relation donnée sous la forme $y =ax + b$ (où $a$ et $b$ sont des réels) et représenter graphiquement $y$ en fonction de $x$, pour $x$ appartenant à l'intervalle [150~;~210).

(On prendra 1 cm du graphique pour 10 cm de taille en abscisse et 1 cm pour 10 kg en ordonnée.)
\item Le \og poids idéal\fg{} est inférieur de 15\,\% au \og poids théorique \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le \og poids idéal\fg{} d'une personne dont le \og poids théorique» est $70$~kg.
		\item Calculer le \og poids idéal\fg{} d'une personne dont la taille est $1,60$~m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités à dominante géométrique.}

\medskip

Les deux exercices sont indépendants.

L'unité choisie est le mètre.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un rectangle ABCD tel que AB $= 8$, BC $= 6$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur AC puis en utilisant la trigonométrie calculer à un degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
		\item Soit le point L tel que $\vect{\text{AL}} = \dfrac23 \vect{\text{AC}}$ et soit K le point du segment [BC] tel que BK $= 4$.

Montrer que la droite (LK) est perpendiculaire à la droite (BC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente une salle de classe de hauteur $3$~m et dont le sol est le rectangle ABCD de dimension AB $= 8$~m et BC $= 6$~m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(6.2,2.5)
\psline(6.2,0.2)(7.7,1.3)(7.7,3.6)(6.2,2.5)%BCGF
\psline(7.7,3.6)(1.7,3.6)(0.2,2.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](7.7,3.6)(0.2,0.2)(1.7,1.3)(7.7,1.3)%GADC
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.3)(1.7,3.6)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[d](6.2,0.2){B} \uput[r](7.7,1.3){C} \uput[ul](1.7,1.3){D}
\uput[l](0.2,2.5){E} \uput[r](6.2,2.5){F} \uput[ur](7.7,3.6){G} \uput[u](1.7,3.6){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la nature du triangle ACG. 

Construire ce triangle en prenant 1 cm pour 1 m.

Calculer AG.

\item Soit I le point de la droite (AG) tel que $\dfrac{\overline{\text{GI}}}{\overline{\text{GA}}} = \dfrac13$.

La parallèle à (GC) passant par I coupe (AC) en I$'$. 

Calculer CI$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les deux inéquations suivantes : 

\[x - 2  \geqslant 0\: ; \qquad 12 - x \geqslant 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $x$ qui vérifient simultanément les deux inéquations: 
		
		\[x - 2  \geqslant 0 \quad \text{et} \quad 12 - x \geqslant 0.\]
		\item Pour $x \in[2~;~12]$, on pose $f(x)= \sqrt{(x - 2)(12- x)}$.

Calculer $f(2),\: f(12),\: f(10),\: f\left(\dfrac{11}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

L'unité choisie est le cm.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A(2~;~0), B(12~;~0), M(10~;~4).
		\item Calculer les distances exactes AB, AM, MB.
		\item Quelle est la nature du triangle AMB ?
		
Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle et calculer son rayon puis tracer soigneusement le demi-cercle $(C)$ de diamètre [AB] qui contient M.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement à 1 mm près, l'ordonnée du point du demi-cercle $(C)$, ayant pour abscisse $\dfrac{11}{2}$.
		\item Déterminer graphiquement les abscisses des points de $(C)$ ayant pour ordonnée 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}















\end{document}