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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère orthogonal les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations
\[\begin{array}{l l}
D_1 :& y = 5x - 1 ;\\
D_2 :& Y = 5x + 3.
\end{array}\]

On choisira comme unités : 5 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées.
\item Pouvait-on prévoir, avant de faire le graphique, que la droite $D_2$ serait située au-dessus de $D_1$ ?
\item Résoudre $5x - 1 > 0$.

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement ce résultat.

\item 

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
$x$ est un nombre supérieur à 0,2.

Deux carrés ont pour côté, l'un $5x - 1$, l'autre $5x + 3$ (côtés exprimés en cm).

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.3,3.2)
\psframe(1.1,0)(4,2.9)
\psline(1.1,2.2)(1.8,2.2)(1.8,2.9)
\rput(1.45,2.55){$\mathcal{A}$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.9,2.2)(0.9,2.9)\uput[l](0.9,2.55){$5x - 1$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.2,0)(4.2,2.9)\uput[r](4.2,1.45){$5x + 3$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

$\bullet~~$Écrire en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}$ du premier carré de côté $5x - 1$, puis développer.

$\bullet~~$Même question pour $\mathcal{B}$, aire du second carré.

$\bullet~~$Sachant que $\mathcal{B} - \mathcal{A} = 28$~cm$^2$, calculer $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un institut de sondage a interrogé cinq cents personnes pour connaître leur opinion sur une nouvelle émission de télévision. 

Les résultats de ces sondages pour les mois de janvier, février, mars sont résumés dans le graphique ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(12,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(7,200)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+25}{9}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(7,\n)}
\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,75)\psline(1,75)(1,100)(2,100)(2,75)
\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,75)\psline(3,75)(3,175)(4,175)(4,75)
\psframe[fillstyle=vlines](5,0)(6,100)\psline(5,100)(5,150)(6,150)(6,100)
\psframe[fillstyle=vlines](10,0)(11,60)\psline(10,60)(10,110)(11,110)(11,60)
\uput[l](10,70){ont}
\uput[l](10,60){regardé}
\uput[l](10,50){l'émission}
\psline{->}(9,75)(9,110)(9.8,110)\psline{->}(9,45)(9,0)(9.8,00)
\uput[r](11,45){l'ont}
\uput[r](11,35){regardée}
\uput[r](11,25){avec}
\uput[r](11,15){satisfaction}
\psline{->}(11.8,49)(11.8,60)(11.2,60)\psline{->}(11.8,10)(11.8,0)(11.2,0)
\uput[d](1.5,0){J}\uput[d](3.5,0){F}\uput[d](5.5,0){M}
\end{pspicture}
\end{center}

Chaque grand rectangle fixe le nombre de personnes qui ont regardé l'émission.

La partie hachurée indique celles qui ont été satisfaites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quel mois le nombre de spectateurs est-il le plus grand ?

Quel pourcentage du nombre de personnes interrogées ce nombre représente-t-il ?
\item Pour quel mois le nombre de spectateurs satisfaits est-il le plus grand ?
\item Pour quel mois le pourcentage de personnes satisfaites parmi celles qui ont regardé l'émission est-il le plus grand ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les parties $1$ et $2$ sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

$\bullet~~$Dessiner un parallélogramme ABCD.

$\bullet~~$Quels sont les points P et Q tels que

$\vect{\text{DP}} = \vect{\text{DA}} + \vect{\text{AB}}$ ; $\vect{\text{CQ}} = \vect{\text{CD}} + \vect{\text{CB}}$

\item  Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{AD}}$.

$\bullet~~$ Construire l'image E du point C par la translation $t$.

$\bullet~~$ Quel est le transformé, par la translation $t$, du triangle ABC ? 

$\bullet~~$Comparer AC et DE.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un carré dont les diagonales se coupent en O.

La médiatrice $\Delta$ du segment [OA] coupe en M et N le cercle
circonscrit au carré ABCD (M et B sont d'un même côté de (AC)).

La droite $\Delta$ coupe [OA] en H.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.6,3.6)
\psframe(0.2,0.2)(3.4,3.4)
\psline(0.2,0.2)(3.4,3.4)
\psline(0.2,3.4)(3.4,0.2)
\uput[ul](0.2,3.4){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](3.4,0.2){C} \uput[ur](3.4,3.4){D} \uput[d](1.8,1.8){O}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AMC ? (justifier votre réponse )
\item Montrer que le triangle OMA est équilatéral.
\item Nommer le symétrique du triangle ANM par rapport à la droite $\Delta$.

En déduire la nature du triangle ANM .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Le triangle isocèle SAB (SA = SB) représente, en coupe verticale, la toiture
d'une maison. M est le milieu du segment [AB].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(2.5,2)
\pspolygon(-2.4,0.2)(2.4,0.2)(0,1.9)%ABS
\uput[l](-2.4,0.2){A} \uput[r](2.4,0.2){B} \uput[ul](0,1.9){S}\uput[d](0,0.2){M}
\psframe(0,0.2)(0.2,0.4)
\psline(0,1.9)(0,0.2)
\end{pspicture}
\end{minipage}


\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : AM = MB $= 5$ mètres ; SM $= 3$~mètres.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{SAM}}$.
		\item Évaluer à un degré près  par excès l'angle $\widehat{\text{SAM}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.58\linewidth}	
K est le point du segment [SM] tel que MK~$=~2,1$~mètres.

La parallèle à la droite (AB ) passant par K rencontre (SA) en H et (SB) en G.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(2.5,2)
%\psgrid
\pspolygon(-2.4,0.2)(2.4,0.2)(0,1.9)%ABS
\uput[l](-2.4,0.2){A} \uput[r](2.4,0.2){B} \uput[ul](0,1.9){S}\uput[d](0,0.2){M}
\psframe(0,0.2)(0.2,0.4)
\psline(0,1.9)(0,0.2)
\psline(-1,0.2)(-1,1.2)(1,1.2)(1,0.2)
\uput[d](-1,0.2){E}\uput[d](1,0.2){F}\uput[ur](1,1.2){G}\uput[ul](-1,1.2){H}
\uput[dr](0,1.2){K}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[resume,start=2]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer KS et en déduire le rapport $\dfrac{\text{SH}} {\text{SA}}$.
		
En déduire le rapport $\dfrac{\text{HG}} {\text{AB}}$ en travaillant dans le triangle SAB.
		\item Calculer la longueur HG.
		\item Quelles sont les dimensions du rectangle HEFG, E et F étant
situés sur la droite (AB) ?
	\end{enumerate}
\item  Le rectangle HEFG représente, en coupe verticale, la partie
habitable sous toiture, la hauteur disponible étant MK.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.7,4.3)
%\psgrid
\psframe(0.2,0)(3.9,1.9)
\psline(3.9,0)(7.4,0.8)(7.4,2.7)(3.9,1.9)
\psline(7.4,2.7)(5.55,3.85)(2.05,3.05)(3.9,1.9)%CTSB
\psline(2.05,1.9)(2.05,3.05)(0.2,1.9)%MSA
\psline(1.4,1.9)(1.4,2.62)(2.7,2.62)(2.7,1.9)%EHGF
\psline(2.7,2.62)(6.2,3.42)%G?
\psline[linestyle=dashed](7.4,2.7)(3.7,2.7)(5.55,3.85)%CDT
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.9)(3.7,2.7)(7.4,2.7)%AD
\psline[linestyle=dashed](1.4,2.62)(4.9,3.42)(4.9,2.7)%H?
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.9)(4.9,2.7)%E?
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.9)(6.2,2.7)%F?
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.7)(6.2,3.42)(4.9,3.42)%??
\uput[l](0.2,1.9){A} \uput[r](3.9,1.9){B} \uput[r](7.4,2.7){C} \uput[d](3.7,2.7){D}
\uput[d](1.4,1.9){E} \uput[d](2.7,1.9){F} \uput[u](2.7,2.62){G} \uput[ul](1.4,2.62){H}
\uput[dr](2.05,2.6){K} \uput[d](2.05,1.9){M} \uput[u](2.05,3.05){S} \uput[u](5.55,3.85){T}
\end{pspicture}
\end{center}

Le prisme droit de base SAB et de troisième dimension BC représente ce que l'on appelle les combles de la maison. BC $= 12$ m.

La partie habitable sous toiture est un pavé droit (parallélépipède rectangle) de base HEFG et dont la troisième dimension a même longueur que BC.

Donner la valeur exacte du rapport suivant : 

\[\dfrac{\text{Volume de la partie habitable sous toiture}}{\text{ Volume des combles }}\]\end{enumerate}

\end{document}