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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz\footnote{Corse--Nice--Toulouse} juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans une classe de 24 élèves, la moyenne du dernier devoir de biologie a été de $12,5$ sur $20$.

On a relevé, de manière incomplète, les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes sur 20& 6& 8	& 9	& 12& 15& $x$\\ \hline
Effectifs	& 2&3	&5	&3	&5	&6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle est la note commune $x$ des 6 meilleurs devoirs ?

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les élèves de 3\up{e} A décident de vendre des croissants à domicile pour financer leur voyage de fin d'année. 

Le montant facturé comprend le prix de la marchandise auquel s'ajoute une somme fixe pour la livraison.

On sait que $4$ croissants livrés coûtent $19$~F et $10$ croissants livrés $37$~F.

Le prix facturé est fonction affine du nombre de croissants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner la représentation graphique de cette fonction (Nombre de croissants en abscisse : 1 cm par croissant, prix en ordonnée : 1 cm pour 5 F.)

Par lecture graphique, déterminer le prix de $12$ croissants livrés.
\item Déterminer la fonction affine $f$.

Retrouver par le calcul le prix des $12$ croissants, livraison comprise.

Quel est le montant de la livraison ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Chacun de ces dessins représente un petit drapeau ABCDE auquel on fait subir une transformation géométrique.

Dans chacune des transformations le point B a pour image B$'$. Remplir le tableau en indiquant:
\begin{itemize}
\item le numéro du dessin correspondant à la transformation,
\item les éléments de chaque transformation.
\end{itemize}

Faire apparaître sur chaque figure les éléments qui définissent chaque transformation s'ils ne sont pas déjà tracés.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,1.8)
%\psgrid
\def\drapo{\psline(0,0)(0,1.2)(0.8,1.2)(0.8,0.6)(0,0.6)}
\def\drapog{\psline(0,0)(0,1.2)(-0.8,1.2)(-0.8,0.6)(0,0.6)}
\def\drapol{\psline(0,0)(0,1.2)(0.8,1.2)(0.8,0.6)(0,0.6)
\uput[l](0,0){A}\uput[l](0,0.6){B}\uput[l](0,1.2){C}\uput[r](0.8,1.2){D}\uput[r](0.8,0.6){E}}
\rput(-4.5,0){\drapol}\rput(-2.5,0){\drapol}\rput(0,0){\drapol}\rput(2.2,0){\drapol}\rput(4,0){\drapol}
\rput(-2.5,-1.2){\drapo}\rput{90}(0,0){\drapo}
\rput{180}(-4.5,0){\drapog}\rput{90}(2.2,0){\drapog}\rput{180}(4,0){\drapo}
\uput[l](-4.5,-1.2){B$'$}\uput[l](-2.5,-0.6){B$'$}\uput[d](-1.2,0){B$'$}\uput[u](1,0){B$'$}
\uput[r](4,-0.6){B$'$}
\rput(-4.2,-1.8){\textcircled{1}}\rput(-2,-1.8){\textcircled{2}}
\rput(0,-1.8){\textcircled{3}}\rput(2,-1.8){\textcircled{4}}
\rput(4,-1.8){\textcircled{5}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No&Type de transformation&Éléments définissant la transformation\\ \hline
&Symétrie centrale& de centre \ldots\\ \hline
&Translation  &de vecteur \ldots\\ \hline
&Symétrie axiale&d'axe \ldots\\ \hline
&Symétrie axiale & d'axe \ldots\\ \hline
&Rotation&de centre \ldots et d'angle \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC, dont les côtés sont donnés en cm par:

\[\text{AB} = 9 \:;\quad \text{AC} = 6 \:;\quad \text{BC} = 7,5.\]

Placer le point R du segment [AB] tel que BR $= 6$ et le point
S du segment [AC] tel que AS $= 2$.
\item Démontrer que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.

Calculer la distance RS.
\item Construire le point T pour que RSCT soit un parallélogramme.

Préciser la position du point T. Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

1. Soient A, B et D trois points du plan muni d'un repère orthonormal, l'unité étant le cm.

\[\text{A}(1~;~4), \quad \text{B}(-1~;~8), \quad \text{D}(9~;~8)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BD}}$ ?
\item Calculer la longueur des segments [AB], [AD] et [BD].
\item Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.

\item Construire le point C tel que :

\[\vect{\text{AC}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}\]

\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère le rectangle ABCD de centre M.

AB $= 2\sqrt 5$~cm, \quad  AD $= 4\sqrt 5$~cm.

Soit S un point de la perpendiculaire au plan ABCD tel que: MS $= 6$~cm.

%fig

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item On coupe le solide par un plan parallèle au plan de la base ABCD.

Ce plan coupe [SM] en M$'$ tel que SM$' = 4$~cm.

On appelle A$'$, B$'$, C$'$, D$'$ les intersections de ce plan avec les droites (SA), (SB), (SC) et (SD).

Quelle est la nature de la section A$'$ B$'$ C$'$ D$'$ ? Justifier.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{SM}'}{\text{SM}}$ et en déduire l'aire de la section.

On rappelle que le volume de la pyramide est donné par la

formule : $V = \dfrac13 Bh$.
\end{enumerate}
\end{document}