\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Nancy--Metz juin 1993},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small juin 1993}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire le plus simplement possible et sans utiliser de valeurs approchées :

$A = \left(3\sqrt 5 + 6\right)\left(3\sqrt 5 - 6\right)$ ;

$B = \sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt 5$ ;

$C = \left(2 + \sqrt 5\right)^2 - 9$ (développer) ;

$D = \left(\dfrac{11}{3}+ \dfrac{11}{10}\right) : \left(\dfrac{11}{6} + \dfrac{11}{4}\right)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Marie veut acheter des fleurs et hésite entre deux possibilités :

\begin{description}
\item[ ] 1\up{re} possibilité : elle achète un bouquet de lys ;
\item[ ] 2\up{e} possibilité: elle achète un vase garni de glaïeuls.
\end{description}
\smallskip

On désigne par $x$ le nombre de fleurs achetées.

Les droites $D_1$ et $D_2$ dessinées ci-après permettent de connaître le prix que Marie devra payer selon qu'elle choisit respectivement la 1\up{re} ou la 2\up{e} possibilité.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10,80)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9}{5 x mul 20 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{7.5 x mul }
\uput[d](2,15){\blue $D_1$}\uput[u](2,30){\red $D_2$}
\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,60)(0,60)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser cette représentation graphique:
	\begin{enumerate}
		\item pour trouver le prix du vase
		\item pour déterminer le nombre de fleurs à partir duquel la 1\up{re} possibilité est plus chère que la seconde.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les équations de $D_1$ et $D_2$.
		\item Retrouver par le calcul le résultat de la question 1. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient A, B, C, trois points d'un plan muni d'un repère orthonormal:

\[\text{A}(-1~;~2),\qquad \text{B}(-2~;~-1) ,\qquad \text{C}(5~;~0)\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item On déplace ce triangle par la translation de vecteur $\vect{\text{AM}}$ de coordonnées $(-1~;~4)$.

Les images respectives de A, B et C sont M, N et P.
	\begin{enumerate}
		\item Faire la figure.
		\item Lire sur la figure les coordonnées des points M, N et P.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABNM ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

J'examine une paire de ciseaux.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4.3,-2.6)(3.2,2.5)
%\psgrid
\rput{-30}(3.6;150){\psellipse(0.7,0.5)}
\rput{-30}(3.6;150){\psellipticarc(1,0.6){15}{345}}
\rput{30}(3.6;210){\psellipse(0.7,0.5)}
\rput{30}(3.6;210){\psellipticarc(1,0.6){15}{345}}
\psdots(3.6;150)(3.6;210)(0,0)(2.8;-30)(2.8;30)
\psline[linestyle=dashed](3.6;150)(2.8;-30)
\psline[linestyle=dashed](3.6;210)(2.8;30)
\uput[r](2.8;-30){A} \uput[ur](2.8;30){B} \uput[u](0,0){C} \uput[dl](3.6;210){D} \uput[dl](3.6;150){E}
\psline(-2.48,-1.13)(-0.4,-0.1)\psline(-2.18,-1.57)(-0.3,-0.3)(-0.4,-0.1)
\pscurve(-0.3,-0.3)(-0.26,-0.34)(0,-0.22)(0.8,0.2)(2,0.91)(2.6,1.38)(2.5,1.52)(2.3,1.52)
\psline(2.3,1.5)(1,0.74)(-0.44,0)(-0.4,-0.1)
%haut
\psline(-2.2,1.56)(-0.1,0.2)\psline(0.42,0)(2.4,-1.2)
\pscurve(2.4,-1.2)(2.6,-1.4)(2.4,-1.52)\psline(2.4,-1.52)(0.05,-0.18)
\psline(-0.4,0)(-2.46,1.15)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-0.2,0.4)(2.2,1.8)\rput{25}(1,1.3){\small 6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.8,-2.4)(0.4,-0.6)\rput{25}(-1.2,-1.7){\small 8 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

QueUe que soit son ouverture, les droites (DE) et (AB) restent parallèles.

DC = EC = 8~cm CB = CA = 6~cm.

Lorsque je l'utilise, l'écartement DE maximal entre mes doigts est $12$~cm.

Quel est l'écartement AB maximal entre les deux lames ?

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

ABCDEFGH est un cube d'arête AB $= 12$ cm ;

I est le milieu du segment [AB] ;

J est le milieu du segment [AE] ;

K est le milieu du segment [AD]

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,6)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(4.2,4.2)%EFBA
\psline(4.2,0.2)(6.4,1.4)(6.4,5.4)(4.2,4.2)%FGCB
\psline(6.4,5.4)(2.4,5.4)(0.2,4.2)%CDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.4,1.4)(6.4,1.4)%EHG
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.4)(2.4,5.4)%HD
\psline(0.2,2.2)(2.2,4.2)(1.3,4.8)%JIK
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.2)(1.3,4.8)%JK
\uput[l](0.2,4.2){A} \uput[r](4.2,4.2){B} \uput[ur](6.4,5.4){C} \uput[u](2.4,5.4){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[dr](4.2,0.2){F} \uput[r](6.4,1.4){G} \uput[dr](2.4,1.4){H}
\uput[dr](2.1,4.2){I} \uput[l](0.2,2.2){J} \uput[ul](1.3,4.8){K} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'aire du triangle AKI ?
\item Quel est le volume de la pyramide AIKJ, de base AKI ?

On rappelle que $V = \dfrac13 B \times h$.
\item Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ ?

Écrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Les quatre questions sont indépendantes}

\medskip

Dans le massif du Mont-Blanc, le deuxième tronçon du téléphérique de l'Aiguille du Midi part d'une altitude de \np{2300}~m et arrive à une altitude de \np{3800}~m.

La distance à l'horizontale entre les deux gares est de \np{2500}~m. Le câble du téléphérique est supposé rectiligne et la situation est représentée par le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,5.8)
%\psgrid
\pspolygon(1.3,0.6)(6.3,0.6)(6.3,3.7)%DHA
\uput[l](1.3,0.6){D} \uput[ur](6.3,0.6){H} \uput[u](6.3,3.7){A}
\psframe(6.3,0.6)(6.1,0.8)
\psline(4.2,2.4)(4.2,1.8)
\psframe(3.9,1.4)(4.5,1.8)%cabine
\rput{30}(4.2,2.6){câble}
\uput[r](0,1.8){Départ du}
\uput[r](0,1.5){téléphérique}
\uput[u](8.5,4){Arrivée du téléphérique}
\uput[r](6.5,3.7){altitude \np{3800}~m}
\uput[r](6.5,0.6){altitude \np{2300}~m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,0.4)(6.3,0.4)\uput[d](3.8,0.4){\np{2500}~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la pente du câble, c'est-à-dire la tangente de l'angle $\widehat{\text{HDA}}$, puis en déduire l'angle $\widehat{\text{HDA}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur AD du câble.
		\item La vitesse de la cabine est de $5,5$~m/s.
		
Quelle est la durée d'une montée en minutes et secondes?
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ le prix du billet aller et retour pour un adulte.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'un enfant de moins de 12 ans bénéficie d'une réduction de 40\,\%, calculer en fonction de $x$ le prix payé par un enfant.
		\item Une famille est composée de 2 adultes et de 3 enfants de moins de 12 ans. Exprimer en fonction de $x$ le prix de revient du trajet aller et retour pour cette famille.
		\item Cette famille s'est fixé un budget de $500$~F{}.
		
Quelle est la valeur maximum du prix $x$ pour qu'elle puisse s'offrir l'excursion ?
	\end{enumerate}
\item Voici le nombre de personnes montant dans la cabine lors du 1\up{er} trajet du matin, à $6$~heures, pour les quatre semaines du mois de juillet.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\footnotesize Lundi &\footnotesize Mardi &\footnotesize Mercredi &\footnotesize Jeudi &\footnotesize Vendredi &\footnotesize Samedi &\footnotesize Dimanche\\ \hline
1\up{re} semaine& 42 	&13 &52 &17 &24 &58 	&72\\ \hline
2\up{e} semaine	& 38 	&45 &37 &28 &49 &68		&63\\ \hline
3\up{e} semaine	& 14 	&29 &58 &19	&72	&70		&59\\ \hline
4\up{e} semaine	& 47 	&38 &47 &32	&55	&72		&61\\ \hline
Nombre moyen de 
passagers		&35,25	&	&	&	&	&67		&63,75\\ \hline
Taux de
remplissage de la 
cabine en \,\%	&49\,\%	&	&	&	&	&93\,\%&89\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les lignes: \og nombre moyen de passagers \fg{} et \og taux de remplissage de la cabine \fg{} sont à recopier.

On se propose d'étudier la moyenne du nombre de passagers au départ de 6 heures et le taux de remplissage par rapport aux 72 places disponibles dans la cabine (c'est-à-dire le quotient
$\dfrac{n}{72}$ où $n$ est le nombre de passagers).

Recopier la liste des jours et, en les complétant, les deux dernières lignes du tableau.

Représenter le nombre moyen de passagers par un diagramme en bâtons.

La direction décide de supprimer cette première montée les jours où le taux moyen de remplissage de la cabine est inférieur à 45\,\%.

Quels jours de la semaine la première montée sera-t-elle supprimée ?
\end{enumerate}
\end{document}