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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy }}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs du premier degré les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (x - 5)(3x - 1)- (x - 6)(x - 5),\\
B&=&(2 - 3x)^2 - (1 + 2x)^2.
\end{array}\]
\item Simplifier les fractions

\[\dfrac{(x - 5)(3x - 1) - (x- 6)(x - 1)}{(x - 5)}, \qquad \dfrac{(2 - 3x)^2 - (1 + 2x)^2}{ (1 - 5x)}.\]
\item Résoudre graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&2x + 5\\
y&=&3\phantom{x} - x
\end{array}\right.\]
(1 unité= 3 cm).
\item Vérifier par le calcul.
\item Calculer en cm$^2$ l'aire du triangle formé par l'axe
des $x$ et les deux droites construites au 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [AB] tel que AB $= 4a$.

On trace la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu C de [AO]. Elle coupe le cercle ($\mathcal{C}$) en P et P$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles APB et ACP, En déduire que 
\begin{center}$\overline{\text{AP}}^2 =$ AB $\times$ AC.\end{center}
\item Une sécante variable, issue de A, coupe (PP$'$ ) en M
et le cercle ($\mathcal{C}$) en N.

Montrer que le quadrilatère BCMN est inscriptible.

En déduire que 
\begin{center}AM $\times$ AN $= 4a^2$\end{center}
\item Sur quelle ligne fixe se déplace le milieu I de
[MB] lorsque la sécante AMN varie ?
\item Soient AT et AT$'$ les tangentes issues de A au
cercle (BCMN).

Montrer que $\overline{\text{AT}}^2 = \overline{\text{AT}'}^2 =$ AB $\times$ AC.

En déduire que T et T$'$ se déplacent sur un cercle fixe, que l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{document}