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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
P_1&=& 4(2x + 1) + 4x^2 - 1,\\
P_2& =& 6x^2 + 3x
\end{array}\]
et l'on désigne par $P$ leur somme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit chacun des polynômes $P_1,\: P_2,\: P$.
\item Dire pour quelle valeur de $x$ les deux polynômes
$P_1$ et $P_2$ prennent des valeurs numériques opposées.
\item Calculer $E = \dfrac{P}{P_1} - \dfrac{P_1}{P}$.
\item Résoudre l'équation $E = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$, centre O, rayon $R$, et un point fixe, A, à une distance $2R$ du centre.

Une droite variable, $xy$, pivote autour de O et coupe le cercle $\mathcal{C}$ en deux points, B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur quelle ligne fixe se déplace, quand $xy$ varie, le pied H de la perpendiculaire abaissée de A sur $xy$ ?
\item Comment faut-il choisir $xy$ pour que l'aire du triangle ABC soit maximum ?

Calculer, dans ce cas, les côtés, la longueur des hauteurs et l'aire du triangle.
\item On suppose que $xy$ fait un angle de $60\degres$ avec (AO).

Donner une construction de $xy$ et calculer AH, l'aire et la longueurs des côtés du triangle ABC, dont on précisera la nature.

\end{enumerate}
\end{document}