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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne deux axes de coordonnées rectangulaires. Placer le points suivants:

\begin{center}A(0~;~3), \qquad B(4,~;~0),\qquad D(2~;~0).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Former le rapport $\dfrac{\text{DO}}{\text{DB}}$.

Calculer la longueur du segment [AB].

Que peut-on en déduire pour la droite (AD) dans le triangle OAB ?
\item Former l'équation de la droite (AB) et de la droite (AD).
\item On mène par B la parallèle à (AD), qui coupe l'axe des ordonnées en E.

Former l'équation de la droite (EB), puis calculer AE.

Que peut-on en déduire pour le triangle AEB ?
\item On trace la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ : elle coupe (AD) en I.

Calculer les coordonnées du point I.

Que représente, géométriquement, ce point I dans le triangle OAB ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] de longueur $a$.

De part et d'autre de ce segment, on construit deux angles aigus égaux $\widehat{\text{BA}x}$ et $\widehat{\text{BA}y}$.

On mène (BC) perpendiculaire à A$x$, (BD) perpendiculaire à (AB) et (BF) perpendiculaire à A$y$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la relation 
\begin{center}AC $\times$ AD = AB$^2$.\end{center}
\item On trace le cercle circonscrit au triangle ABD ;
démontrer que (BF) est tangente en B au cercle.
\item On suppose que A$x$ tourne autour du point A, l'angle $\widehat{\text{BA}x}$ restant aigu.

Quelle ligne décrit alors le point C ?
\item On suppose que $\widehat{\text{BA}x} = \widehat{\text{BA}y} = 30\degres$.

Calculer, en fonction de $a$, BD, AD, AC.

Calculer l'aire de la surface comprise entre le demi-cercle
$\widearc{\text{ABD}}$ et le triangle ABD.

Donner une valeur approchée de cette aire pour $a = 10$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}