\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nancy septembre 1961},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1961}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne les coordonnées de trois points, A, B, C, par rapport aux axes rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ :

\begin{center}A(2~;~2),\qquad R$(- 1~;~3)$,\qquad C$(3~;~- 2)$.\end{center}

On joint B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
\item Donner l'équation de la droite qui, passant par A, est perpendiculaire à (BC).
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle fixe (O), de centre O et de rayon $R$, et deux points fixes, A et B, de ce cercle tels que l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ soit de $120\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item K étant un point variable de [OA], pris entre O et A, on pose AK $= x$ ; le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [AK] coupe (AB) en E.

Calculer en fonction de $x$ la longueur des côtés du triangle AKE.
\item La perpendiculaire à (OA) en O coupe (AB) en S.

Calculer SA, SO, SB en fonction de $R$.
\item Montrer que les points S, E, O, K sont sur un même cercle.

Déterminer $x$ en fonction de $R$ pour que ce cercle soit égal au cercle $(\mathcal{C})$.
\item On élève en E la perpendiculaire (E$z$) au plan du
triangle AEK, sur laquelle on porte EI $ = \dfrac x2$.

Calculer AI et IK en fonction de $x$.
\item Montrer que (AE) est perpendiculaire au plan du triangle IEK.
\end{enumerate}
\end{document}