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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression
\[\dfrac{4x^2 - 16x + 16}{x - 2}.\]

\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$\left(D_1\right)\quad  y_1 = x - 2$\quad  et \quad $\left(D_2\right)\quad  y_2 = - x + 4$. \end{center}

Que peut-on dire de la direction de ces deux droites ?

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
\item A désignant le point de $\left(D_1\right)$ qui a pour abscisse $- 1$
et B le point de $\left(D_2\right)$ qui a pour abscisse 2, tracer la droite (AB) sur le graphique précédent.

Trouver l'équation de la droite (AB) et préciser son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
\item Par O, origine des axes de coordonnées, on mène une parallèle à la droite (AB).

Quelle est l'équation de cette droite ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un demi-cercle de diamètre [AB] (centre O, rayon 4 cm), [OC] le rayon perpendiculaire à [AB] et I un point de [OC] tel que OI $= 3$ cm.

On trace [AI], que l'on prolonge jusqu'à son intersection, M, avec le demi-cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la similitude des triangles AIO et AMB.
\item Calculer AI, AM, MB et MH, distance de M au diamètre [AB].
\item Calculer AC.
\item Démontrer que le quadrilatère MBOI est inscriptible ; en déduire que 
\begin{center}
AI $\cdot$ AM $= 2R^2$.
\end{center}
\item Soit N le milieu de [AM]. Les droites (BN) et (OM) se coupent en G.

Que représente G dans le triangle AMB ?

Calculer OG.
\end{enumerate}
\end{document}