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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small septembre 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy\footnote{Reims et Strasbourg} septembre 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression
\[P(x) = (3x - 2)^2 + 2(2 - 3x)(2x - 1) + 6x - 4.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $P(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $P(x)$ est-elle nulle ? 

Calculer sa valeur pour $x = \sqrt 2$.
\item Tracer les graphes $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions
\begin{center}$y_1 =3x - 2$\qquad  et \qquad $y_2 =2 - x$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection M,
des deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Déterminer la fonction dont le graphe est la perpendiculaire menée par M à la droite $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient un cercle (O) de centre O et de diamètre [BC] tel que BC $= 2R$
et le point H situé entre B et C, tel que $\dfrac{\text{HB}}{\text{HC}} = \dfrac12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par H, on mène la perpendiculaire à (BC).

Soit A, l'un de ses points d'intersection avec le cercle (O).

La perpendiculaire menée de H à (AC), coupe (AC) en I et la
 tangente en A au cercle en D.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{IA}}{\text{IC}}$.
\item Comparer les triangles IAD et IHC.

Démontrer que les quatre points A, H, C, O appartiennent à un même cercle, dont on déterminera le centre.

Comparer les directions de (OA) et (CD).
\item Évaluer, en fonction de $R$, les longueurs  AB et AH.
\end{enumerate}
\end{document}