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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy\footnote{Reims et Strasbourg} septembre 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne la fraction 
\[E(x) = \dfrac{(x - 1)^2 - 4}{(2x + 1)^2 - (x + 2)^2}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier cette fraction. Montrer qu'elle peut alors s'écrire
\[\dfrac{x - 3}{3(x - 1)}.\]
À quelle condition ?
\item Calculer $x$ pour que l'on ait $E(x) = 0$, puis $E(x) = 1$. 
\item Calculer $x$ pour que l'on ait $E(x) = \dfrac{\sqrt 3}{3}$.
\item Représenter graphiquement
\begin{center}$y_1 = x - 3$\qquad et \qquad $y_2 = 3(x - 1)$.\end{center}

Donner les coordonnées du point d'intersection des droites obtenues et retrouver graphiquement les résultats de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC. On trace la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{A}}$, qui coupe (BC) en D.

On suppose que l'angle $\widehat{\text{DAC}}$ est égal à l'angle $\widehat{\text{BCA}}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles DRA et ABC.

En déduire que l'on a 
\begin{center}AB$^2 =$ RD $\times$ BC \end{center}
et que le cercle circonscrit au triangle ADC est tangent en A à (BA).
\item Sachant que BD $= 4$~cm et DC $= 5$~cm, calculer AB, AD.
\item  Le cercle circonscrit au triangle ABD recoupe (AC) en E.

Montrer que les triangles BEC et ADC sont semblables.
\end{enumerate}
\end{document}