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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&\left(x^2 - 4\right)^2 - 4(x + 2)^2,\:\:\text{et}\\
B(x)& =& x^3 + 2x^2 - 16x - 32.
\end{array}\]

\item Former $E(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ est définie ?

L'expression $E(x)$ peut-elle s'annuler ?

Donner la ou les valeurs correspondantes de $x$.

Simplifier la fraction $E(x)$.
\item Déterminer $x$ pour que $E(x)$ soit égale à 2.
\item Tracer, dans un repère orthonormé $x'\text{O}x, y'\text{O}y$ les droites 
$\left(D_1\right),\: \left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$ représentant graphiquement les fonctions définies respectivement par 
\begin{center}$y = x,\quad y = x + 2$\quad  et \quad  $y  = x + 4$.\end{center}

La droite $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des abscisses en C et l'axe des ordonnées en I.

Le cercle de centre O, de rayon CI, coupe l'axe d abscisses en deux points; soit H l'un d'eux. On trace par H la parallèle à l'axe des ordonnées ; elle coupe $\left(D_1\right)$ en M$_1$,  $\left(D_2\right)$ en M$_2$ et $\left(D_3\right)$ en M$_3$.

Calculer
\[\dfrac{\overline{\text{HM}_1} \times \overline{\text{HM}_2}}{\overline{\text{HM}_3}}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en C. Les bissectrices extérieures des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ se coupent en O.

On considère le cercle (O) de centre O, tangent aux droites portant les côtés du triangle.

Soit D, E et F les points de contact de ce cercle respectivement avec les côtés [AB], [AC] et [BC].

L'intersection de (OE) avec (AB) est le point E$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les directions des droites (CB) et (EE$'$) puis démontrer la relation
\[\text{AB} \times \text{AE} = \text{AE}' \times \text{AC}.\]

\item Quelle est la nature de chacun des triangles COB et BOE$'$ ?
\item Soit I l'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ avec (AO).

Démontrer que le quadrilatère OCIB est inscriptible dans un cercle.

Préciser la position du centre O$'$ de ce cercle.
\item Démontrer que le triangle IBO est isocèle.
\item Calculer la puissance du point C par rapport au cercle (O) en fonction du rayon de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}