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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy-Metz septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions:
\[\begin{array}{l c l}
E(x) &=& y(x +2) + 3x^2 - 12\\
F(x) &=&x^2 +4 + 4x\\
G(x) &= &2xy + 4y -(x + 2)^2.
\end{array}\]

\item Simplifier les fractions rationnelles suivantes:
\begin{center}$P(x) = \dfrac{E(x)}{F(x)}$\qquad  et \qquad $Q(x) = \dfrac{G(x)}{F(x)}$.\end{center}
Soit $P'(x)$ et $Q'(x)$ les fractions obtenues.

Calculer la valeur numérique prise par $P'(x)$ pour $x = \sqrt 2 - 1$ et $y = 11$.

En donner une valeur approchée à 0,01 près.
\item Quelle relation $x$ et $y$ doivent-ils vérifier pour que
$P(x) = 1$ ?
\item Quelle relation $x$ et $y$ doivent-ils vérifier pour
que $Q(x) = 3$ ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ a-t-on simultanément $P(x) = 1$ et $Q(x) = 3$ ?
\item Retrouver à l'aide d'un graphique les résultats
de la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle (ABC) rectangle en A dans lequel
AB $= 6a$ et AC $= 8a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite (AH) étant la hauteur relative à l'hypoténuse [BC] de ce triangle, calculer la longueur des segments [BC], [AH] et [BH] en fonction de $a$.
\item De H, on trace la perpendiculaire (HE) à (AB) et la perpendiculaire (HF) à (AC).

Déterminer la nature du quadrilatère (AEHF).
\item Comparer les triangles (BEH) et (BAC) et en déduire l'expression de EH et de EB, en fonction de $a$.
\item Comparer les produits 
\begin{center}$\overline{\text{AE}} \times \overline{\text{AB}}$\qquad  et \qquad $\overline{\text{AF}} \times \overline{\text{AC}}$.\end{center}

Peut-on en déduire une propriété du quadrilatère convexe (BEFC) ?
\item La droite (FE) coupe la droite (CB) en G.

Calculer la longueur du segment [GH].
\end{enumerate}
\end{document}