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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy-Metz septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $A$ et $B$ les fonctions polynômes définies par 

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3x + 2)^2- (x - 2)^2\\
B(x)&=&2x^2 - 8 - (x + 2)(- 2x + 6).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Résoudre les équations suivantes, dans $\Z$, puis dans $\R$:
\begin{center}$A(x) = 0$\quad et \quad  $B(x) = 0$.\end{center}

\item On désigne par $f$ la fonction rationnelle définie par
\[f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de $f$, puis simplifier $f(x)$.
\item Calculer $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :

\begin{center}$x=-\dfrac13$\quad et\quad $x = \sqrt 2 + 1$\end{center}

(on rendra le dénominateur rationnel).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit trois points A, B et C d'un plan euclidien (P), muni d'un repère orthonormé \Oij{} :
A a pour coordonnées $(- 2~;~- 1)$, B a pour coordonnées (4~;~7) et C a pour coordonnées (8~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du bipoint (A, C).
\item Calculer les coordonnées du point, D, symétrique de B par rapport à I
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?

Démontrer que les quatre points A, B, C et D appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit K le point du plan défini par $\vect{\text{BK}} = \vect{\text{AI}}$.

Démontrer que le quadruplet (B, K, C, I) est un losange.
\end{enumerate}
\end{document}