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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3 - 2x)(3x + 5) - (9 - 6x)(2x - 1)\\
g(x)&=& 9 - 4x^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f(0), \:f\left(\sqrt 2\right),\: g\left(2 + \sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, déterminer un encadrement de $g\left(2 + \sqrt 3\right)$ à $10^{-1}$ près.
\item Résoudre dans $\R$ les équations:
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$,
		\item $g(x) = 0$,
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item quel est son ensemble de définition ? Simplifier $h(x)$.
		\item résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = 1$.

Comment retrouver graphiquement le résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan euclidien étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, d'axe
$x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, on considère les points A(6~;~3), B$(-1~;~2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{C}$ le cercle dont le segment [AB] est un diamètre et par
M le centre de ce cercle.

Etablir que l'origine O du repère est un point du cercle $\mathcal{C}$.
\item Le cercle $\mathcal{C}$ recoupe l'axe $x'\text{O}x$ en D et recoupe l'axe $y'\text{O}y$en E.

Démontrer que les points D, M. E sont alignés.
\item Déterminer les coordonnées des points D et E.

En déduire la nature du triangle (O, D, E).
\item Soit F l'image de D dans la symétrie orthogonale d'axe $y'\text{O}y$.

Établir sans calcul que la droite (FE) est la tangente en E au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}