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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les trois fonctions polynômes $f, g, h$, de $\R$ dans $\R$ définies par:

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x- 3)(x+4)+(4x- 6)(1- 2x)- (2x -3)(x- 3)\\
g(x)&=&(3x + 1)^2 - (x + 4)^2\\
h(x)&=&12x -9 - 4x^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x),\: g(x)$ et $h(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.

Résoudre dans $\R$ l'équation : $-8x^2 + 30x = 27$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right),\: h\left(1 - \sqrt 2\right), \:  g\left(\dfrac32\right),\: g(0,1)$.

Sachant que $1,41 < \sqrt 2 < 1,42$, encadrer $h\left(1 - \sqrt 2\right)$.
\item Dans un repère cartésien quelconque, construire les deux droites d'équation :
\begin{center}$y = 4x +9$\quad et\quad  $y = 4x +5$\end{center}

 Déterminer les coordonnées de leur point commun.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation:
\[f(x) = g(x).\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} on donne les points
\begin{center}A$(-2~;~-1)$, \qquad  B(2~;~2), \qquad  C$(1~;~-5)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit M le milieu de (A, C). Calculer les coordonnées de M.
\item Soient $S$ la symétrie de centre M et D $= S$(B). 

Déterminer la distance DC.
\item Soient $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$ et E $= t$(B).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de E:..
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, E, C) ?
		\item Etudier la disposition relative des trois points D, C, E.
	\end{enumerate}
\item On pose $\alpha = \text{mes}\left(\widehat{\text{ABM}}\right)$.

 Déterminer $\tan \alpha$ puis en déduire $\alpha$ au degré près.
\end{enumerate}
\end{document}