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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres rationnels suivants:

\[r = - \dfrac{231}{99}\:; \quad s = \dfrac{245}{105}\: ; \quad t= - \dfrac{78}{182}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire ces nombres sous leur forme irréductible.
\item Calculer
\[a = r + s\:;\quad  b = r \times s\:;\quad  c = r + t\:;\quad  d = r \times t.\]

Que peut-on en conclure pour $r$ et $s$, pour $r$ et $t$ ?
\item Ranger les nombres $a,\: b,\: c$ et $d$ dans l'ordre décroissant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies par

\[\begin{array}{l l c l l l c l}
f :&\R&\to&\R &g :&\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto &y =3x - 2&& x &\longmapsto &y = 2x - 5.
\end{array}\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $f \circ g$ et $g \circ f$.
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système d'équations du premier degré à deux inconnues.

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x - y&=&2\\
2x - y &=&5
\end{array}\right.\]

\item Vérifier graphiquement le résultat précédent.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite 
$\left(\Delta_1\right)$ d'équation $3x - 2y =0$ et le point A de $\left(\Delta_1\right)$, d'abscisse 2.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point A.
		\item Soit B l'image de A par la symétrie de centre O.
		
Déterminer les coordonnées du point B et démontrer que B est un point de $\left(\Delta_1\right)$.
		\item Déterminer l'équation de la médiatrice $\left(\Delta_2\right)$ du segment [AB].
	\end{enumerate}	
\item Soit C le point de coordonnées $(3~;~-2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que C est un point de $\left(\Delta_2\right)$.
		\item Démontrer que (A, B, C) est un triangle rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item Soit $(\Delta)$ la droite passant par O et de vecteur directeur $\vect{\jmath}$ et soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $(\Delta)$. On pose
\[s(\text{A}) = \text{A}',\quad s(\text{B}) =\text{B}',\quad s(\text{C}) = \text{C}'.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que (A$'$, B$'$, C$'$) est un triangle rectangle isocèle et que (O, B, B$'$) est un triangle isocèle.
		\item Soit H le point d'intersection des droites $(\Delta)$ et (BB$'$). 
		
Déterminer les coordonnées de H.

Que représente la droite (OH) pour le triangle (O, B, B$'$) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}