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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

La figure schématisée ci-dessous s'appelle un tronc de cône ;
son volume $V$ est donné par la formule

\[V = \dfrac{\pi\left(R^2 +r^2 +Rr\right)}{3}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.2,-0.8)(2.2,4.1)
\psellipticarc(0,0)(2.1,0.75){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.1,0.75){0}{180}
\psellipse(0,3.7)(1.5,0.5)
\psline{->}(0,3.7)(1.5,3.7)
\psline{->}(0,0)(2.1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3.7)
\psline(-1.5,3.7)(-2.1,0)\psline(1.5,3.7)(2.1,0)
\uput[u](0.5,3.7){$r$}\uput[u](1.05,0){$R$}\uput[r](0,1.85){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans tout l'exercice $x,\: R,\: r$ seront exprimés en centimètres, $V$ en centimètres cube (cm$^3$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $V$ pour $x = 60 ;\: R = 20 ;\: r = 10$ (prendre $\pi \approx 3,14$).
\item On décide de prendre 3 comme valeur approchée du nombre $\pi$ ; ainsi le volume $V$ après simplification devient $V' = x\left(R^2 +r^2 +Rr\right)$.

On utilisera cette formule dans toute la suite de l'exercice.

Calculer $V'$ pour $x = \dfrac65\:;\: R = \dfrac72 \:;\:r = \dfrac53$. 

Donner la valeur de $V'$ sous forme de fraction irréductible.
\item Sachant que $R = 35\:;\: r = 25\:;\: V' = \np{190750}$, écrire l'équation qui permet de déterminer $x$, puis calculer $x$.
\item Calculer la valeur exacte de $V'$ pour $x = 6 \:;\: R = 8\sqrt 2  + 3 \:;\: r = 8\sqrt 2 - 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

On trace un triangle ABC rectangle en B et tel que BC $= 2$AB. On pose AB $= a$.

Soit E le point défini par $\vect{\text{AE}}= 3\vect{\text{AB}}$ et D le point défini par
$\vect{\text{ED}} = \vect{\text{BC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la figure BCDE?
\item Soit F le point d'intersection des droites (AD) et (BC).

On trace par F la parallèle à (CD) qui coupe (AC) en G et par G la parallèle à (BC) qui coupe (AB) en H.

Évaluer les quotients $\dfrac{\overline{\text{AF}}}{\overline{\text{AD}}},\: \dfrac{\overline{\text{AG}}}{\overline{\text{AC}}},\: \dfrac{\overline{\text{BF}}}{\overline{\text{BC}}}$  et $\dfrac{\overline{\text{AH}}}{\overline{\text{AB}}}$.

En déduire, en fonction de $a$, les longueurs BF et HB.

Démontrer que BFGH est un carré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

La consommation journalière $y$ d'une chaudière au gaz est donnée en fonction de la température extérieure $x$.

$y$ est exprimée en m$^3$, $x$ en degrés Celsius.

La consommation est donnée ainsi :

\[\begin{array}{r c l}
x < 5&, &y = -0,15x + 2,25\\
5 \leqslant x\leqslant 12&,&y= 1,5\\
x > 12&, &y = -  0,25x + 4,5.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la consommation journalière lorsque la température est de $-15~ \degres $C ?
		\item Que dire de la température lorsque la consommation est de $1,5$ m$^3$ ?
		\item Pour quelle valeur de la température la consommation est-elle nulle ?
		
Au-dessus de cette température, que devient la consommation $y$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction affine par intervalles $f$ qui, à tout $x$ réel inférieur ou égal à 18, associe $f(x) = y$.

Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

On prendra 0,5 cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
\item Utiliser la représentation graphique de $f$ pour déterminer
	\begin{enumerate}
		\item l'ordonnée du point d'abscisse $-15$ ;
		\item l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)= 1,5$ ;
		\item l'abscisse du point d'ordonnée nulle.
		\item À partir de quelle température, la consommation journalière est-elle strictement supérieure à 3 m$^3$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}