\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.4cm, right=3.4cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor ={APMEP},
pdfsubject ={Brevet},
pdftitle = {Nancy-Metz septembre 1987},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1987}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

Un rectangle a pour dimensions $x$ et $y$, l'unité étant le mètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $x = \dfrac{25}{7}$ et $y = \dfrac{11}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le périmètre de ce rectangle sous forme d'une fraction irréductible puis en donner une valeur approchée à 1~cm près par défaut.
		\item Calculer l'aire de ce rectangle puis en donner une valeur
approchée à 1~cm$^2$ près par défaut.
	\end{enumerate}
\item On donne $x = 5 + \sqrt 2,\: y =  5 - \sqrt 2$.

Calculer le périmètre et l'aire du rectangle.
\item Soit $x$ la largeur du rectangle et $5 + x$ sa longueur.

Le périmètre du rectangle est égal au périmètre d'un cercle de rayon $x$.

Calculer les dimensions du rectangle à $1$~dm près par excès (on prendra $\pi \approx 3,14$).
\item L'aire d'un rectangle est de 24 m$^2$.

On forme un nouveau rectangle en augmentant la dimension $x$ de 1,5~m, l'aire augmente alors de $4,8$~m$^2$.

Calculer les dimensions $x$ et $y$ du rectangle initial.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
La figure ci-contre représente un triangle isocèle de sommet principal A tel que AB $= 7$.

M est le point de [AB] tel que BM $= 5,6$.

La projection orthogonale de M sur le segment [BC] est le point N tel que BN $= 2$.

On note I le milieu de BC.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(3.7,2.8)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.6,0.2)(1.9,2.3)%BCA
\psline(1.9,0.3)(1.9,0.2)
\psline(1.5,0.2)(1.5,1.8)%NM
\uput[u](1.9,2.3){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](3.6,0.2){C}
\uput[d](1.9,0.2){I} \uput[ul](1.5,1.8){M} \uput[d](1.5,0.2){N}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Les questions 2, 3, 4 peuvent être traitées dans un ordre quelconque}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'unité étant le cm, construire en vraie grandeur le triangle BMN puis le triangle ABC.

On expliquera brièvement les étapes de la construction.
\item Calculer MN puis en donner une valeur approchée par défaut au mm près.
\item Calculer $cos \widehat{\text{B}}$, en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$ au degré près.
\item Calculer le quotient $\dfrac{\text{BN}}{\text{BI}}$ ; en déduire BI et BC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une ville A, une facture d'eau se compose d'un forfait de $80,00$~F pour la location du compteur et du prix de l'eau utilisée, chaque m$^3$ coûtant $7,50$~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une famille a consommé $5$~ m$^3$ d'eau. Quel est le montant de sa facture ?
\item Soit $x$ la consommation d'eau exprimée en m$^3$ et $y$ le montant total de la facture exprimé en francs.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.
		\item On pose $y =f(x)$.
		
Construire la représentation graphique de la fonction $f$ ainsi définie pour 

$0 \leqslant x \leqslant 120$. (1~cm pour 10m$^3$ sur l'axe des abscisses, $1$~cm pour $50,00$~F sur l'axe des ordonnées.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une ville B on ne facture que l'eau utilisée, soit $8,30$~F le m$^3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une famille de la ville B a consommé 52 m$^3$ d'eau. Quel est le montant de sa facture ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le montant total de la facture $y$ en fonction de la consommation en m$^3$~:~$x$.
		\item On pose $y =g(x)$. 
		
Construire la représentation graphique de la fonction $g$ ainsi définie pour 

$0 \leqslant x \leqslant 120$ dans le même repère que la représentation de $f$.
		
Les deux représentations seront tracées à l'aide de deux couleurs différentes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de m$^3$ d'eau consommée pour que les deux factures aient le même montant dans les villes A et B.

Expliquer comment on obtient graphiquement ce résultat.
\item En utilisant les représentations graphiques de $f$ et de $g$, comparer le montant des deux factures pour une consommation de 70 m$^3$ ? 110 m$^3$ ?
\end{enumerate}
\end{document}