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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz
 septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La nouvelle pièce de 10 F a un diamètre de $23$ mm et la précédente un diamètre de 26 mm.

En pesant 5 anciennes pièces et 4 nouvelles, on obtient : $76$ g. 

Une seconde pesée avec 3 anciennes pièces et 2 nouvelles,
donne : $43$ g.

Déterminer les masses respectives des deux pièces de 10~F{}.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\[A = (3x + 1)^2- 4(3x +1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser l'expression A donnée.
\item Calculer la valeur numérique de A, en choisissant à chaque fois l'expression la mieux adaptée.
	\begin{enumerate}
		\item Pour $x = - \dfrac13$.
		\item Pour $x = 0$.
		\item Pour $x = \sqrt 2$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre les équations :

\[\begin{array}{l l}
(3x + 1)(x - 1) &= -1\\
(3x +1)(x - 1) &= 0
\end{array}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L 'unité utilisée étant le centimètre, on considère le plan rapporté à un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-1~;~0)$ et B(1~;~4).
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\item Soit $\Delta$ la perpendiculaire à (AB) passant par B. Déterminer l'équation de $\Delta$.

Vérifier que le point C(7~;~1) est un point de $\Delta$.
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB]. Calculer son rayon $r$.
\item Montrer que la droite (BC) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ . On note H l'intersection, autre que A, du cercle avec la droite (AC).

Montrer que (BH) est une hauteur dans le triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip ABC est un triangle appelé T. I est le milieu de [AB], M un point du plan.

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(20,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pspolygon[linewidth=1.25pt](3,2)(11,3)(5,6)%ACB
\rput{-120}(5,6){\psframe(0.6,0.6)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4,4)(11,12)\uput[ul](4,4){I}
\uput[dr](11,12){M}\uput[d](3,2){A}\uput[u](5,6){B}\uput[r](11,3){C}
\rput(6,4){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure puis construire :

\begin{itemize}
\item T$_1$ image de T dans la symétrie de centre I.
\item T$_2$ image de T dans la translation de vecteur $\vect{\text{BM}}$.
\item T$_3$ image de T dans la symétrie de centre A.
\item T$_4$ image de T dans la rotation de centre C, d'angle $90\degres$
en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{itemize}

\item En utilisant le dessin, définir avec précision la transformation qui permet de passer de T$_1$ à T$_3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{Les questions $1, 2, 3, 4$ peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}

\medskip

Éric décide de fabriquer une tente de forme conique à son petit frère Jérémie.

On donne la hauteur OS $= 2,3$~m et mes $\widehat{\text{OSM}} = 35\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-0.8)(2.4,4.1)
\psellipticarc(0,0)(2.4,0.85){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.4,0.85){0}{180}
\psline(-2.39,0.1)(0,3.7)(2.39,0.1)
\pspolygon(0,0)(0,3.7)(1.87,-0.49)%OSM
\psline(0,1.9)(0.93,1.61)%KL
\psline(0,0.2)(0.19,0.17)(0.19,-0.04)
\uput[u](0,3.7){S} \uput[l](0,1.9){K} \uput[r](0.93,1.61){L} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1.87,-0.49){M} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle OSM, calculer SM et OM (à 1 dm près).
		\item Calculer le périmètre du cercle de base (à 1 dm près).
	\end{enumerate}
\item On se propose de calculer le rayon du cercle à l'intérieur duquel Jérémie pourra se tenir debout :

\begin{itemize}
\item soit K le point de la hauteur [OS] tel que OK $= 1,38$~m.
\item on donne OM $= 1,60$~m.
\item la parallèle à (OM) passant par K coupe (SM) en L. 

Calculer KL.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(3.4,3)
\psarc(0,0){3}{270}{100}
\psarc(0,0){0.4}{270}{100}
\psline(3;100)(0;0)(3;270)
\uput[l](0,0){S} \uput[ul](3;100){B} \uput[dl](3;270){A} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le patron (ou développement) de la tente est un secteur circulaire dont le rayon SA (= SB) mesure $2,8$~m.

L'arc $\wideparen{\text{AB}}$ a une longueur de $10$ m. 
	\begin{enumerate}
		\item La longueur $\mathcal{L}$ de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$ est donnée en fonction de la
mesure $a$ en degrés de l'angle au centre $\widehat{\text{ASB}}$ par la formule

\[v = \dfrac{2\pi R}{360} \times a.\]

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$.
		\item Sachant que l'aire du secteur circulaire est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre, trouver l'aire de la toile (à $1$~dm$^2$ près).
	\end{enumerate}	
\item La masse de la toile est de $200$~g par m$^2$.

Calculer la masse de la tente, si cette masse augmente de 5\,\% après la pose d'une fermeture à glissière. (On prendra $14$ m$^2$ pour l'aire de la toile).
\end{enumerate}
\end{document}