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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small L'année 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $A$ et $B$ suivants sous la forme $a\sqrt b + c$ ($a,\: b$ et $c$ sont des entiers).

\[A = \sqrt 2 + 3 - \left(6\sqrt 2 - 4\right)  \qquad B = \left(\sqrt 2 + 3\right) \times \left(6\sqrt 2 - 4\right)\]

\item Calculer $C$ à l'aide de la calculatrice.

\[C = \dfrac{\sqrt 2 + 3}{6\sqrt 2 - 4}\]

\item Comparer $\sqrt 2 + 3$ et $6\sqrt 2 - 4$.

\emph{La question $3$ peut être traitée indépendamment des deux autres}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour la location de cassettes, un vidéo-club propose deux formules 
annuelles :
\begin{itemize}
\item Formule A : payer $30$ F par cassette louée,
\item Formule B : payer $150$ F d'inscription au club et $12$ F par cassette louée.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item J'envisage de louer 6 cassettes dans l'année. Quels sont les prix correspondants pour chacune des formules ?
\item Soit n le nombre de cassettes que je pense louer dans l'année.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de n le prix payé pour chaque formule.
		\item À partir de quel nombre de cassettes la formule B est-elle plus intéressante ?
	\end{enumerate}	
\item Dans un repère (O, I, J) orthogonal, représenter les droites d'équations $y = 5x$ et 

$y = 2x + 25$.

Unités : sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 1 cassette; sur "axe
des ordonnées, 1 cm représente $30$ F. 

Résoudre graphiquement l'inéquation :

\[5x > 2x + 25\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J) (unité: 1centimètre), on donne les points A, B et C par leurs coordonnées :

\[\text{A}(- 5~;~0),\quad \text{B}(3~;~-4),\quad \text{C}(2~;~4)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu de [AC].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'équation de la droite (OC) et l'équation de la droite (AB).
		\item Montrer que les droites (OC) et (AB) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}	
\item Prouver par le calcul que le triangle ABC est isocèle en C.
\item Utiliser les résultats des questions 2 et 3 pour démontrer que la droite (OC) est la médiatrice du segment [AB].
\item Montrer que les points O et B appartiennent à la droite d'équation 
$y = -\dfrac43 x$.
\end{enumerate}

\emph{Les questions peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
ABCD est un carré de côté 1. 

O est le milieu du segment [AB]. 

L'arc de cercle de centre O, de rayon [OC] coupe la demi-droite [AB) en E. 

Le quadrilatère AEFD est un rectangle. 

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(4.7,3)%AEFD
\psline(2.9,0.2)(2.9,3)%BC
%\psline(1.4,0.2)(2.7,3)%OC
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[d](2.9,0.2){B} \uput[u](2.7,3){C} \uput[ul](0.2,3){D} \uput[d](4.7,0.2){E} \uput[ur](4.7,3){F} \uput[d](1.6,0.2){O}
\pswedge[fillstyle=hlines](1.6,0.2){3.08}{0}{65}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le triangle OBC, prouver que OC $= \dfrac{\sqrt 5}{2}$.
		\item Calculer la valeur exacte de la distance AE.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{COB}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{COB}}$ à $0,1$ degré près.
		\item Calculer l'aire de la surface hachurée à un centimètre près. 
		
On prendra $\widehat{\text{COB}} = 63\degres$, et on rappelle que OC $= \dfrac{\sqrt 5}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\textbf{Rappel :}

L'aire d'un secteur circulaire de rayon $R$ et d'angle $a$ (mesure en degrés) est donnée par la formule : 
\[\dfrac{\pi R^2}{360} \times a\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.8,3.6)
\pswedge[fillstyle=vlines](3.6,0.7){3.3}{140}{172}
\psarc(3.6,0.7){0.3}{140}{172}
\rput(3,0.9){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.7)(3.6,0.3)
\uput[d](1.65,0.35){$R$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Les parties $1, 2$ et $3$ sont indépendantes. Les figures ne sont pas à l'échelle}

\bigskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
Les dimensions d'un verre ayant la forme d'un cône (partie supérieure) sont données sur le dessin ci-contre.

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que le volume total du verre (partie conique) est de $27\pi$~cm$^3$.
\item Donner la valeur approchée du résultat, à 1 cm$^3$ près par défaut.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.9,-4.5)(2.8,1.1)
\psellipse(0,0)(1.9,0.6)
\psellipticarc(0,-4.1)(1.25,0.4){112}{428}
\psline(-1.85,-0.1)(0,-4.1)(1.85,-0.1)
\psline(-1.9,0)(1.9,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.9,0.8)(1.9,0.8)\uput[u](0,0.8){6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.1,-4.1)(2.1,0)\uput[r](2.1,-2.05){9 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Avec du jus de fruit, on remplit ce verre aux cinq sixièmes de la hauteur ; c'est-à-dire que sur la
figure SB $= \dfrac56$ SA (A étant le
centre du cercle supérieur du cône).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter en vraie grandeur le triangle ARS, et tracer le segment [BP].
\item Calculer la distance BP.
\item Quel est le volume du jus de fruit dans le verre, à 1 cm$^3$ près ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.3,-4.5)(2.8,1.1)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(2.25,0.6)
\psellipticarc(0,-1)(1.65,0.65){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1)(1.65,0.65){0}{180}
\psline(-2.2,-0.1)(0,-4.1)(2.2,-0.1)
%\psline(-1.9,0)(1.9,0)
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.9,0.8)(1.9,0.8)\uput[u](0,0.8){6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.5,-4.1)(2.5,0)\uput[r](2.5,-2.05){9 cm}
\uput[u](0,0){A} \uput[r](0,-1){B} \uput[ur](-1.1,-0.5){P} \uput[u](-1.37,0.5){R}\uput[d](0,-4.1){S}
\pspolygon(0,0)(0,-4.1)(-1.37,0.5)
\psline(0,-1)(-1.1,-0.5)%BP
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Combien de verres remplis de cette façon peut-on servir avec une
bouteille de $1,5$~l ?
\end{enumerate}

\textbf{Rappels :}

$\bullet~$1 l = 1~dm$^3$

$\bullet~$volume du cône : $\dfrac13 B \times h$

$B$ : aire de la base, \quad $h$ : hauteur du cône

\medskip

\textbf{TROISIÈME PARTIE}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
On a représenté graphiquement le volume (en cm$^3$), en fonction de la hauteur $x$ (en cm) du liquide dans le verre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Y a-t-il proportionnalité entre le volume et la hauteur du liquide ? Expliquer.
\item Comment retrouver à l'aide de ce graphique le résultat de la question 3 de la deuxième partie ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.9,-4.5)(2.8,1.1)
\psellipse(0,0)(1.9,0.6)
\psellipticarc(0,-1.7)(1.12,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.7)(1.12,0.4){0}{180}
\psline(-1.85,-0.1)(0,-4.1)(1.85,-0.1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,-1.7)(2,-4.1)\uput[r](2,-2.9){$x$}
%\uput[u](0,0){A} \uput[r](0,-1){B} \uput[ur](-1.1,-0.5){P} \uput[u](-1.4,0.55){R}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[resume,start=3]
\item Par simple lecture graphique :
\begin{itemize}
\item trouver le volume de jus de fruit correspondant à une hauteur de $4,5$ cm;
\item trouver la hauteur qui correspond à un volume de jus de fruit égal à la moitié du volume total du verre.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.05cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,120)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,120)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=1000]{0}{9}{0.9425 x dup mul mul}
\uput[u](9.6,0){\small hauteur du liquide en cm$^3$}
\uput[r](0,115){\small volume du liquide en cm$^3$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}