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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Nancy}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A ; AB $= 8$~cm, AC $= 15$~cm.

Une parallèle à l'hypoténuse coupe [AB] en D et [AC] en E.

On pose AD $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $x$, à 1 mm près, pour que l'aire du triangle ADE soit la moitié de celle du trapèze BDEC.
\item On désigne par $y_1$ le périmètre du triangle ADE et par $y_2$ le périmètre du trapèze BDEC.

Démontrer que $y_1 = 5x$ et que $y_2 = 40 - \dfrac{3x}{4}$.
\item Représenter graphiquement les variations de ces périmètres en fonction de $x$, lorsque le point D se déplace de A à B (Échelle : 1 pour $x$ ; $\dfrac12$ pour $y$)
\item Déterminer graphiquement pour quelle valeur de $x$ ces deux périmètres sont égaux.

Vérifier, en déterminant cette valeur par un calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

C étant un point quelconque de ce demi-cercle, on trace la corde [AC], que l'on prolonge au-delà de d'une longueur CD = CB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque C décrit le demi-cercle de centre O, montrer que le point D se déplace sur un cercle, dont on précisera le centre I et le rayon.
\item Quelle portion du cercle de centre I décrit le point D lorsque C décrit le demi-cercle de diamètre [AB] ?
\item Le point C est choisi tel que la corde [AC] ait pour longueur $\dfrac{3R}{2}$.

Soit H la projection du point C sur (AB).

Calculer en fonction de $R$ les longueur des segments [AH], [HB], [CB], [CH] et [BD].
\item Calculer l'aire du triangle ABD en fonction de $R$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Les questions 3. et 4. sont indépendantes des questions 1. et 2.
\end{document}