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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Activités numériques}

\medskip

On considère 2 applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[x \stackrel{f}{\longmapsto}- x + 1 \hspace{7em} \text{et } \hspace{7em} x \stackrel{g}{\longmapsto} x + 1\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ les équations 
\[f(x) = 2, \hspace{10em}g(x) = 2\]
\item Soit $h$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie de la manière suivante :

\begin{align*}
h(x) &= f(x) &\text{si } &x < - 2 \\
h(x) &= 3 &\text{si } &x\in [- 2 ; + 2]\\
h(x) &= g(x) &\text{si } &x > 2
\end{align*}

Représenter graphiquement l'application $h$ dans un repère orthonormé.
\item Résoudre dans $\R$ les équations :

\[h(x) = 4 ,\qquad h(x) = 1\]

Vérifier graphiquement les résultats.
\item Sachant que $1,414 < \sqrt{2} < 1,415$, encadrer $2\sqrt{2}$ puis calculer $h(2\sqrt{2})$.

Donner un encadrement de $h(2\sqrt{2})$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Activités géométriques}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère trois
points A, B et C définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A\,$\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right)$\hspace{5em} B\,$\left(\dfrac{13}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right)$\hspace{5em} C\,$\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{11}{2}\right)$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}, \:\vect{\text{BC}}$.

Déterminer les normes de ces vecteurs.

En déduire que le triangle (A, B, C) est un triangle \footnote {rectangle mais le mot est absent dans le texte} en C.
\item Soit $\mathcal{C}$(I, $R$) le cercle de centre I et de rayon $R$ passant par les points A, B et C.
\begin{itemize}
\item Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle $\mathcal{C}$(I, $R$).
\item Quel est le rayon de ce cercle  $\mathcal{C}$(I, $R$) ?
\end{itemize}
\item Soient les points D et E déterminés par leurs coordonnées respectives:

\begin{center}D\,$\left(\dfrac{11}{2}~;~\dfrac{11}{2}\right)$\hspace{9em} E\,$\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$\end{center}
Ces points appartiennent-ils à  $\mathcal{C}$(I, $R$) ? Pourquoi ?

Montrer que les points E, I et D sont alignés.
\item Déterminer les coordonnées du point F pour que le quadruplet (A, C, B, F) soit
un rectangle.

\item Soit $H$ la projection orthogonale du point D sur la droite (A,~B).

Quelles sont les coordonnées du point H ?
\begin{itemize}
\item Calculer $\left\Vert \vect{\text{DH}} \right\Vert$ et $\left\Vert \vect{\text{IH}}\right\Vert$.
\item $\alpha$ désigne l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{HID}}$

Calculer la tangente de cet écart angulaire $\alpha$.

Puis en utilisant des tables trigonométriques encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs (l'unité choisie étant le degré).
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}