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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz\footnote{Besançon, Reims} juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$x$ et $y$ sont des nombres positifs ; on appelle
\begin{itemize}
\item moyenne arithmétique de $x$ et $y$, \:  $a = \dfrac{x + y}{2}$ ;
\item moyenne géométrique de $x $ et $y$, \: $g = \sqrt{xy}$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et écrire le plus simplement possible $a$, puis $g$ lorsque $x = 1$ et $y = 3$.
\item Même question pour $x = 3$ et $y = 13$.
\item Calculer $y$ sachant que $a = 12$,7\: et $x = 7,8$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'aire du carré PQRS représenté ci-dessous est 11 cm$^2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.8,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.5,3.5)
\pswedge[fillstyle=vlines](0.2,3.5){3.3}{-90}{0}
\uput[ul](0.2,3.5){P} \uput[ur](3.5,3.5){Q} \uput[dr](3.5,0.2){R} \uput[dl](0.2,0.2){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la longueur $c$ de son côté.
\item Calculer l'aire $A$ de la partie hachurée : on donnera la
valeur \emph{exacte} puis une valeur approchée à 0,1 cm$^2$ près
par défaut.

(L'arc de cercle passant par Q et S a pour centre P.)

\emph{Rappel.} L'aire d'un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=1.25pt}
\begin{pspicture}(-2.1,-1)(2.1,4.3)
\psellipticarc(0,0)(2.1,0.9){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.1,0.9){0}{180}
\psline(-2.1,0.05)(0,3.8)(2.1,0.05)
\psline(0,3.8)(-1.37,-0.7)
\psline[linestyle=dashed](0,3.8)(0,0)(-1.37,-0.7)
\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-1.45,-0.7){A} \uput[u](0,3.8){S} 
\psline(0,0.2)(-0.18,0.12)(-0.18,-0.1)
\end{pspicture}
\end{center}

La figure ci-dessus représente un cône de révolution.

Le rayon OA du disque de base est $6$~cm, la hauteur SO du cône est $8$~cm. 

A est un point du cercle de base.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la distance SA est 10 cm.
		\item Montrer que $\tan \widehat{\text{OSA}} = 0,75$.

En déduire une mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{OSA}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le triangle OSA en vraie grandeur.
		
Placer le point H tel que $\vect{\text{SH}} = \dfrac34\vect{\text{SO}}$.

Tracer la droite parallèle à la droite (OA) passant par H; elle coupe la droite (SA) en K.
		\item Calculer $\dfrac{\text{SK}}{\text{SA}}$.
		
En déduire la distance SK.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij, unité : le centimètre.

Placer les points A(3~;~0) et B(0~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Marquer les points C, D, E tels que :

\begin{itemize}
\item C est le symétrique de A par rapport à B,
\item D est le symétrique de B par rapport à O,
\item E est le symétrique de O par rapport à A.
\end{itemize}

Sur la figure, vérifier que l'on a : C$(- 3~;~6)$\:;\quad D$(0~;~- 3)$\:;\quad E(6~;~0).

Calculer la distance DE.
\item Montrer qu'une équation de la droite (DE) est 1

\[y = \dfrac12 x - 3.\]

\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à (DE) et passant par O.

Montrer qu'une équation de $\Delta$ est 

\[y = - 2x.\]

Vérifier que le point C appartient à $\Delta$.
\item Soit H le point d'intersection des droites (DE) et $\Delta$. 

Calculer les coordonnées de H.
\item Que représente la droite (CH) pour le triangle CDE ? 

Calculer la distance CH.
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du triangle CDE, l'aire $\mathcal{A}'$ du triangle OAB, puis $\dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}}$ (on utilisera les valeurs exactes des résultats précédents).

On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par la formule 

\begin{center}$\dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}$\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}