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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Limoges}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Limoges juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

L'exercice consiste à déterminer onze nombres entiers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour trouver ces nombres, on répondra aux questions suivantes :

\textbf{A.} Calculer, en indiquant les étapes : $3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^6 \times 1,25$.

\textbf{B.}

\textbf{a.} Calculer, en indiquant les étapes : $\left(3 - 4 \times  \dfrac23\right) : \dfrac{1}{12}$.

\textbf{b.} Calculer, en indiquant les étapes: $\left(6 \sqrt 2\right)^2 + 1$.

\textbf{c.} Trouver un nombre entier compris entre 300 et 350 qui soit le carré
d'un nombre entier.

\textbf{D.} Le nombre $4\sqrt 5 + \sqrt{245}$ peut s'écrire sous la forme $a \sqrt 5$.

Calculer le nombre entier $a$.

\textbf{E.} 

\textbf{a.} Donner la solution positive de l'équation $x^2 = 576$.

\textbf{b.} Développer et réduire l'expression :

$E=(3x - 4)^2- (3x- 5)(3x- 3)$.

\textbf{F.} Résoudre l'équation $(x - 6)(3x - 93) = 0$.
 
\textbf{G.} Factoriser l'expression $F = (x - 280)^2 - 8^2$.

On trouvera une expression de la forme $(x - b)(x - c)$.

Quel est le plus petit des nombres $b$ et $c$ ?

\textbf{H.}  Le nombre $N$ est compris entre \np{5300} et \np{5400}.

Le chiffre des unités de $N$ est égal à celui des dizaines.

La moyenne des chiffres de $N$ est égale à 4.

Déterminer le nombre $N$.

\item Vérifier que l'on peut reporter dans la grille 
ci-contre :

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{itemize}
\item horizontalement, les réponses aux questions \textbf{A.}, \textbf{B a.}, \textbf{B.b.}, \textbf{C.} et \textbf{D.} ;
\item verticalement, les réponses aux questions \textbf{E. a.}, \textbf{E. b.}, \textbf{F.}, \textbf{G.} et \textbf{H.}
\end{itemize}

Reproduire et compléter ainsi cette grille.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{E}											&\multicolumn{1}{c}{F}		&\multicolumn{1}{c}{G}	&\multicolumn{1}{c}{H}\\ \cline{2-5}
A	&											&		&	&\\ \cline{2-5}
B	&											&\cellcolor{black}&&\\ \cline{2-5}
C	&\cellcolor{black}	&		&\cellcolor{black}&\\ \cline{2-5}
D	&											&		&	&\\ \cline{2-5}
\end{tabularx}
\end{minipage}

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (0 ; 1; J) tel que OI = OJ  $= 1$ cm, on considère les points:

\begin{center}
A(2~;~6),\quad  B(-3~;~3),\quad  C(2~;~0), \quad D(7~;~3)

\psset{unit=0.8cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-1)(9,7)
\pspolygon(2,6)(-3,3)(2,0)(7,3)%ABCD
\uput[u](2,6){A} \uput[l](-3,3){B} \uput[d](2,0){C} \uput[r](7,3){D} 
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psline(1,-0.1)(1,0.1)\psline(-0.1,1)(0.1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$.

Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et AD (on donnera les valeurs exactes). 

Que peut-on alors dire du parallélogramme ABCD ? Justifier.
\item Reproduire la figure ci-dessus.

Construire le point M centre du parallélogramme ABCD.

Calculer les coordonnées de M.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du triangle AMD par la symétrie centrale de centre M ?
		\item Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On complétera la figure au fur et à mesure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 5 cm et
$\widehat{\text{ABC}} = 120\degres$.
\item On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure de l'angle HBC? Justifier votre réponse.
		\item Calculer la distance BH.
		
(On pourra consulter l'extrait de la table trigonométrique ci-dessous.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
mesure de l'angle en degrés	&cosinus		&sinus 			&tangente\\ \hline
$30\degres$					&\np{0,866025}	&0,5			&\np{0,577350}\\ \hline
$60\degres$					&0,5			&\np{0,866025}	&\np{1,732051}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Le cercle de centre B, de rayon $5$ cm coupe la droite (AB)en D.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (BH) et (DC) sont parallèles.
		\item Calculer la distance DC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

Bruno dispose d'un plan de son studio à l'échelle $\dfrac{1}{100}$ :
c'est un rectangle de longueur $4,9$ cm et de largeur $4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les dimensions réelles en m du studio.
\item Calculer l'aire réelle du studio en m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

Pour recouvrir le sol de sonstudio, Bruno cherche à se procurer $20$ m$^2$ de moquette.

Il s'informe des tarifs dans deux magasins Toumoquette et Beautapis. Comme on est en fin de saison, chaque magasin propose des conditions exceptionnelles :

Chez Tournoquette, la pose de la moquette est gratuite.

Chez Beautapis, on accorde un rabais de 20\,\% sur le prix de la moquette, mais il faudra payer la pose qui coûte $520$ F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Bruno choisit chez Toumoquette une moquette qui coûte $90$ F le rn",
Calculer la dépense de Bruno.
		\item Bruno choisit chez Beautapis une moquette qui coûte également $90$ F le m$^2$, mais avant rabais.

Calculer la dépense de Bruno, pose comprise.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ le prix du m$^2$ de moquette, $T$ le prix payé chez Toumoquette, $B$ le prix payé chez Beautapis.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $T$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que chez Beautapis, le prix payé pour une moquette à
$x$ F le m2 est égal, après la réduction de 20\,\%, à $16x$. 
		\item En conclure que $B = 16x + 520$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

Sur une feuille de papier millimétré, construire ce repère de manière que:

l'origine soit placée en bas à gauche,
\begin{itemize}
\item en abscisse, 1 cm représente $10$ F,
\item en ordonnée, 1 cm représente $200$ F.
\end{itemize}

Soit $d_1$ et $d_2$ les droites d'équations : $y = 20x \, (d_1),\quad
y = 16x + 520\, (d_2)$.

Tracer  $d_1$ et $d_2$ dans ce repère.
\item Déterminer par lecture graphique, le magasin le plus avantageux en
fonction du prix du m$^2$ de moquette.
\item Retrouver par calcul, pour quelles valeurs de $x$, le prix $T$ est inférieur ou égal au prix $B$.
\end{enumerate}
\end{document}