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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy\footnote{Reims et Strasbourg} septembre 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions rationnelles

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&\dfrac{2x^3 - 12x^2 + 18x}{2x^2 - 6x},\: \text{et}\\
B(x)&=&\dfrac{4x^2 - 36x + 81}{81 - 4x^2}
\end{array}\]

\item Déterminer $x$ pour que

\[\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0,\qquad  \dfrac{A(x)}{B(x)} = 1,\qquad  A(x) - B(x) = 0,\qquad  A(x) + B(x) = 0.\]

\item Calculer le rapport $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ lorsque
\[x = 5,\qquad x = 3,\qquad x = \dfrac92, \qquad  x = \sqrt 3.\]
\item Construire, dans un système d'axes orthonormé, les droites représentant les fonctions
\begin{center}$y = x - 3,\qquad y = - 2x + 9$.\end{center}
\item Retrouver graphiquement les résultats de la question 2.
\end{enumerate}


\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip



On donne un segment [AB] tel que  AB $= 4$ cm. 

Soit C et D les points qui partagent ce segment dans le rapport $\dfrac13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ces points.

Calculer les longueurs CA, CB, DA, DB, CD.
\item On trace le cercle ayant pour centre O, pour diamètre [AB], et le cercle ayant pour centre O$'$ et pour diamètre [CD].

Ces cercles se coupent en M et N.

Calculer la longueur OO$'$.

En déduire la nature des triangles OMO$'$ et ONO$'$.

Calculer la longueur MN.
\item Par N, on trace une sécante variable, qui recoupe les cercles (O) et (O') en P et P$'$ respectivement.

Montrer que le triangle PMP$'$ reste semblable au triangle OMO$'$.

En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{PMP}'}$.
\end{enumerate}
\end{document}