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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application polynôme qui, à tout réel $x$, fait correspondre le réel $f(x)$ :
\[f(x) = (3x - 5)(5x - 4) + (5 - 3x)(x + 2).\]

Soit $g$ l'application polynôme qui, à tout réel $x$, fait correspondre le réel $g(x)$ :
\[g(x) = 9x^2 - 30x + 25.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivante.
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$.
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle qui, au réel $x$, associe $h(x)$ :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $E$ de $h$ ?
		\item Si $x$ appartient à $E$, démontrer que $h(x)$ peut être mis sous la forme
\[h(x) = \dfrac{2(2x -3)}{3x - 5}.\]
		\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:
		\begin{enumerate}
			\item $h(x) = 1$.
			\item $h(x) = \dfrac43$.
			\item $h(x) = 0$.
			\item Déterminer les images par $h$ des réels
$- \dfrac12$  et $\sqrt 3 - 1$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Soit un triangle (A, B, C) rectangle en A ; H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne AC $= 3$ et AB $= 6$ ; calculer BC, HB, HC et AH.
\item Soit E l'image de A dans la symétrie de centre H.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la droite (BC) pour le segment [AE] ?
		\item Quelle est la nature du triangle (B, E, C) ?
	\end{enumerate}
\item On trace le cercle $(\Gamma)$ circonscrit au triangle (A, B, C) : préciser la position de son centre et son rayon.

E appartient-il à ce cercle ?
\item Soit $x$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

Calculer $\sin x$ et $\tan x$.

En déduire un encadrement à un degré près de $x$ à l'aide des tables trigonométriques ci-dessous :

\[\begin{array}{|c |c |}\hline
\phantom{123}a \phantom{123}&\phantom{123}\tan a\phantom{123}\\ \hline
62\degres&1,881\\
63\degres&1,963\\
64\degres&2,050\\
65\degres&2,145\\ \hline
\end{array}\]

\item Soit $(\Delta)$ la parallèle à (AE) passant par C.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $(\Delta)$ est tangente au cercle $(\Gamma)$.
		\item Si l'on appelle F l'intersection des droites $(\Delta)$ et (BE), calculer EF.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}