\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Nantes juin 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies, dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(2x + 5)(x + 3) + (3x - 1)(2x + 5) -(2x + 5)^2,\\
g(x)&=&9x^2 - 6x + 1 -(x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de polynômes réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser le polynôme $9x^2 - 6x + 1$.
		\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de polynômes du premier degré en $x$.
	\end{enumerate}
\item 
On considère la fonction rationnelle $q$ définie par
\[q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de cette fonction rationnelle.
		\item Montrer que, pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$, on peut écrire
 \[q(x) = \dfrac{2x +5}{4x + 1}.\]
		\item Calculer $q\left(- \dfrac52\right)$ et $q\left(\sqrt 2\right)$.
		
On indiquera lavaleur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $q\left(\sqrt 2\right)$ : on donne $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
	\end{enumerate}
\item Représenter, graphiquement, en utilisant un même repère orthonormé les fonctions $h_1$ , et $h_2$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
h_1(x)&=&2x+5,\\
h_2(x)&=&4x + 1.
\end{array}\]

Utiliser le graphique pour résoudre l'équation
\[q(x) = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien, on considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et un triangle (A, B, C), équilatéral, inscrit dans ce cercle.

On désigne par M le milieu de (A, C), par D le symétrique de B dans la symétrie centrale de centre M, par E le symétrique de D dans la symétrie centrale de centre C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadruplet (B, A, D, C) est un losange.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la droite (AD) pour le segment [BC] ?
		\item Démontrer que la droite (AD) est tangente en A au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer $d$(C, A),\: $d$(C, D)) et $d$(C, E).
		
 En déduire la nature du triangle (A, D, E).
		\item Calculer $d$(A, E) sachant que $d$(A, B) $= a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $S$ la symétrie orthogonale d'axe (BD).

Déterminer l'image de la droite (AD) puis celle de la droite (AD) par $S$.

En déduire que la droite (DE) est tangente en C au cercle $\mathcal{C}$.
\item Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle
géométrique $\widehat{\text{AED}}$.

Quelle est la valeur de cet écart angulaire ?
\end{enumerate}
\end{document}