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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Deux villes, A et B, sont distantes de $70$~km. un camion part de A à $8$ h, dans la direction AB, à la vitesse constante $v$.

Une automobile part de B à $9$~h, dans la direction $BA$, à la vitesse constante $V$. La rencontre de ces deux mobiles a lieu à $9$~h~20~min.

L'automobile s'arrête en A, puis en repart, dans la direction AB, toujours avec la même vitesse $V$, au moment précis où le camion passe en B, continuant sa route au-delà de B.

L'automobile dépasse le camion $1$~h~10~min après être partie de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les vitesses de ces deux mobiles.
\item Représenter graphiquement leurs mouvements en prenant $8$h pour origine des temps et A pour origine des espaces, $3$ cm pour $1$ h et $1$ cm pour $10$~km.
\item Représenter aussi le mouvement d'un cycliste parti de B à $9$~h~24~min à la vitesse de $20$~km/h.
\item Déterminer les équations des droites représentant les différents mouvements.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, on trace deux diamètres perpendiculaires, [MN] et [PQ].

Une sécante variable issue de P coupe le rayon [OM] en P$'$ et recoupe le cercle en S.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles PP$'$O et PQS sont semblables.

Montrer que les produits $\overline{\text{PP}'} {\:\cdot \:} \overline{\text{PS}}$ et $\overline{\text{PO}} {\:\cdot \:}\overline{\text{PQ}}$ sont égaux et calculer leur valeur en fonction de $R$.
\item La parallèle à (PQ) menée par P$'$ coupe (OS) en I.

Démontrer que le triangle P$'$IS est isocèle et que le cercle de centre I et de rayon IP$'$ est tangent à (MN) et au cercle (O).

Où doit se trouver S pour qu'il soit aussi tangent au diamètre [PQ] ?
\item Calculer IP$'$ lorsque $\widehat{\text{OPS}} = 30\degres$. 
\end{enumerate}
\end{document}