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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer, dans un même système d'axes rectangulaires, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentatives des fonctions

\begin{center}$y_1 = \dfrac43(x + 2)$\qquad  et \qquad $y_2 = - 2x + 6$\end{center}

(on prendra comme unité le centimètre sur chaque axe).

Quelles sont, d'après le graphique, les coordonnées du point de rencontre, C, des deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?

Retrouver ces coordonnées par le calcul.
\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe l'axe des $x$ en A et la droite $\left(D_2\right)$coupe ce même axe en B.

Former l'équation de la droite passant par A et par le milieu, M, de [BC].
\item Former l'équation de la droite passant par A et perpendiculaire à (BC).

Comparer les résultats du 2. et du 3. et en déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Sur une droite $x'x$ on donne un segment [AB], de longueur $a$.

C et D sont les deux points de $x'x$ tels que 
$\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DA}}{\text{DB}}= 3$ (C est entre A et B ; D est hors du
segment [AB]).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CA, CB, DA, DB en fonction de $a$.
\item On mène par D une tangente au cercle de diamètre [AB] ; elle rencontre ce cercle au point M.

Calculer la longueur de DM en fonction de $a$.
\item On trace le triangle AMB et la demi-droite [MC), puis on mène par B la parallèle à (AM), qui coupe (MC) en I et (MD) en J.

Comparer les triangles CAM et CBI, puis les triangles DAM et DBJ.
\item Calculer $\dfrac{\text{BI}}{\text{AM}} $ et $\dfrac{\text{BJ}}{\text{AM}}$.

En déduire que B est le milieu de [IJ] et que [MB) est
bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMD}}$.
\end{enumerate}
\end{document}