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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un système d'axes rectangulaires où l'unité est le centimètre sur chacun des axes, la droite $(D)$ représentant les variations de $y = 2x - 5$.

Indiquer les coordonnées du point A de $(D)$ situé sur $x'\text{O}x$ et les coordonnées du point B de $(D)$ situé sur $y'\text{O}y$.
\item Construire dans le même système d'axes la droite $(D')$ représentant les variations de $y = - x$.

Quelle est la position relative des droites $(D)$ et $(D')$ ?

Soit H le point commun à ces deux droites : calculer les coordonnées de H et la longueur BH.
\item Un point M est situé sur l'axe $x'\text{O}x$ ; son abscisse est $t$.

Écrire l'équation de la droite $(D'')$ passant par M et parallèle à $(D')$.

Calculer les coordonnées du point K, commun à $(D)$
et à $(D'')$.
\item Calculer la longueur MK.

Calculer l'aire du triangle MBH ; étudier les variations de cette aire avec $t$ ; représentation graphique de ces variations.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un cercle $(C)$ de centre O et de rayon $R$, un diamètre [AB] de ce cercle, un point H du segment de droite [OB].

M est l'un des points d'intersection du cercle et de la perpendiculaire en H à (AB) ; N est le point diamétralement opposé au point M sur le cercle $(C)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles MHB et MAN sont semblables.

En déduire que MA $\cdot$ MB = MH $\cdot$ MN.

Comment peut-on retrouver ce résultat en utilisant les relations métriques relatives aux triangles rectangles ?
\item On suppose que H est le point du segment [OB] qui vérifie

\[\dfrac{\overline{\text{HB}}}{\overline{\text{HO}}} =- 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des
segments [OH], [HM], [MA] et [MB].
		\item G étant le centre de gravité du triangle MAB, démontrer que la droite (GH) est parallèle à la droite (MB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}