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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il ajouter à $x^2 - 4x$ pour que ce polynôme devienne le développement du carré d'un binôme du premier degré ? 

On donne l'expression $E(x) = x^2 - 4x - 5$.

Mettre cette expression sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation $E(x) = 0$.
\item Résoudre successivement les inéquations suivantes :

\begin{center}$x + 1 \geqslant 0,\quad x + 1 \leqslant 0,\quad x - 5 \geqslant 0$\quad et \quad $x- 5 \leqslant 0$.\end{center}

En déduire le signe du produit $(x + 1) (x - 5)$. 
\item Calculer la valeur numérique de l'expression
\[F(x) = \sqrt{\left(x^2 - 4x - 5\right)^2}\]
dans les cas suivants :
\[x = -5,\qquad  x = 0,\qquad x = 3\sqrt 7.\]

(Dans le dernier cas, on donnera le résultat à 0,001
près par défaut.)
\item Exprimer sans radical l'expression $F(x)$, suivant les valeurs de $x$ :
\begin{itemize}
\item si $x \leqslant - 1,$
\item si $- 1 \leqslant x \leqslant 5$,
\item si $x \geqslant 5$.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle (O), de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$ et de centre O.

Par le point C de [AB] tel que AC $= \dfrac{4R}{3}$ on mène la perpendiculaire à (AB) ; elle coupe le cercle (O) en D.

La perpendiculaire menée du centre O à (AD) coupe (AD) en H et (DC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (DO) est perpendiculaire à (AE).

Quelle est la nature du triangle DEA ?
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs BD, DC, DA et DH.
\item Comparer les triangles DHE et DCA.

En déduire la longueur DE.
\item Démontrer que le quadrilatère OCDH est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.

Même question pour le quadrilatère AECH.
\end{enumerate}
\end{document}