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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nantes juin 1969}}

\smallskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC ; les mesures de ses côté sont AB $= 3$, AC $= 1$, BC $= 2$.

(On pourra dessiner la figure en choisissant le centimètre pour unité de longueur.)

La demi-droite ayant A pour origine et passant par B est orientée de A vers B.

Sur cette demi-droite, on marque un point M défini
par $\overline{\text{AM}} = x$ ; on remarquera qu'il existe deux cas de figure :

\qquad \textbf{a.} M est entre A et B $(0 < x < 3)$ ;

\qquad \textbf{b.} M est au-delà de B sur la demi-droite $(3 < x)$. 

Par M on trace la parallèle à la droite (BC) : elle coupe en P la demi-droite qui est issue de A et qui passe par C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MP et AP en fonction de $x$.
\item Calculer, en fonction de $x$, le périmètre, $y$, du trapèze BCPM.

[$y$ devra être étudié dans chacun des cas \textbf{a.} et \textbf{b.}
\item Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$ ; on précisera soigneusement les intervalles où $x$ varie.
\item On désire que $y$ soit égal à $\dfrac{13}{2}$ ; combien de valeurs
de $x$ satisfont cette condition ?

La réponse serait-elle la même si l'on désirait que
$y$ soit égal à $2$, ou bien à $10$ ?

Calculer les valeurs de $x$ satisfaisant ces conditions.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur une droite $(D)$, on marque trois points, O, A et B, dans cet ordre : OA $= a$ ; OB $= 3a$.

On trace le cercle $(C)$ dont le centre est O et dont le rayon est $a \sqrt 3$.

On appelle P l'un des deux points de ce cercle situés ur le diamètre perpendiculaire à $(D)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PA et PB.
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AO}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{PO}}{\text{PB}}$.

Quelle conclusion peut-on en déduire ?
\item Calculer l'un des rapports trigonométriques de chacun des angles $\widehat{\text{OPA}}$ et $\widehat{\text{OPB}}$.

Quelles sont le mesures de ces angles ?

Peut-on comparer le résultat obtenu et ce qui a été démontré à la question précédente ?
\item On marque sur $(C)$ un point M différent de P et non situé sur $(D)$.

Démontrer que les triangles OMA et OBM sont semblables.

Le rapport $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$ est-il variable quand M décrit $(C)$ ?
\item Démontrer que le cercle circonscrit au triangle MAB est tangent en M à la droite OM.
\end{enumerate}
\end{document}