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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions suivantes:
[[\begin{array}{l c l}
A &=& a^2 + b^2 + 2ab - 1,\\
B &=& 2ab - a^2 - b^2 + 1\:\text{et}\\
C&=& 4a2 b2 - - (a^2 + b^2 - 1)
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[(I)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 47,\\
x - y &=& 13.
\end{array}\right.\]

\item Après s'être ramené à des formes analogues aux précédentes, résoudre les systèmes

\[(II)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 - y^2 &=&825,\\
x + y &=& 75
\end{array}\right.\]
\[(III)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 - y^2 &=&448,\\
x ~ y &=& 14.
\end{array}\right.\]

\item Démontrer l'égalité suivante, valable pour toutes les valeurs de $x$ et de $y$ :
\[(E)\quad  (x+y)^2 = (x- y)^2 + 4xy\]

On donne le système

\[(IV)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=& 41,\\
xy &=& 408
\end{array}\right.\]
\item 
Calculer $(x - y)^2$ au moyen de l'égalité $(E)$.

Calculer $x - y$ et résoudre le système.
\item On donne le système
\[(V)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 &=&317,\\
xy&=& 154.
\end{array}\right.\]

Calculer $(x + y)^2$ et $(x - y)^2$.

Résoudre le système.

Dans un repère orthonormé, on marque les points qui ont pour coordonnées les valeurs trouvées pour $x$ et pour $y$.

Quelle disposition remarquable ces différents points ont-ils ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit $(C)$ un cercle de diamètre [AB]; son centre est 
 ; la mesure de son rayon est $a$.
 
Sur la tangente en B au cercle, on marque un point I tel que BI soit égale à $a$.

La droite déterminée par les points A et I coupe la médiatrice de [AB] en J et recoupe le cercle $(C)$ en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AOJ et ABI.

Évaluer OJ, AJ et JI en fonction de $a$.
\item Démontrer que le quadrilatère BDJO est inscriptible dans un cercle $(C')$ ; préciser la position du centre O$'$ de ce cercle ; évaluer, en fonction de $a$, le rayon de ce cercle.
\item On désigne par $p$ la puissance de I pour le cercle $(C)$,
et par $p'$ la puissance de I pour le cercle $(C')$.

Démontrer que $p = 2p'$ ; évaluer $p$ en fonction de $a$
et déterminer $p'$.
\item Le cercle $(C')$ recoupe en un point E la droite déterminée par B et I.

Démontrer que E est le milieu  de [BI].
\end{enumerate}
\end{document}