\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nantes juin 1972},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{juin 1972}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant, de deux équations à deux inconnues:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - 2y + 4 &=& 0, \\
2x - y - 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item De la relation $x - 2y + 4 = 0$, déduire $y$ en fonction de $x$;.
		
Construire dans un repère orthonormé la droite $(D)$ qui représente les variations de cette fonction.
		\item De la relation $2x - y - 1= 0$, déduire $y$ en fonction de $x$.
		
Construire dans le même repère la droite $(D')$ qui représente les variations de cette nouvelle fonction.
		\item Indiquer les coordonnées du point A commun à $(D)$ et à $(D')$.
	\end{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées du point B où $(D)$ coupe l'axe des ordonnées ?

Quelles sont les coordonnées du point B$'$ où $(D')$ coupe l'axe des ordonnées ?

Calculer les longueurs AB et AB$'$, ainsi que le
 rapport $\dfrac{\text{AB}}{\text{AB}'}$.
\item Écrire l'équation de la droite $(\Delta)$ qui passe par A et par le point C dont les coordonnées sont $(- 2~;~- 1)$.
\item Quelles sont les coordonnées du point P, où $(\Delta)$ coupe l'axe des ordonnées ?

Calculer $\dfrac{\overline{\text{PB}}}{\overline{\text{PB}'}}$

Que peut-on en conclure pour $(\Delta)$ dans le triangle (ABB$'$) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne deux points, B et C, dont la distance est $5a$ : (BC $= 5a$).

Sur le segment limité par ces deux points on place le point H défini par BH $= 4a$.

Sur la perpendiculaire en H à la droite (BC) on place un point A défini par HA $= 2a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{HB}}{\text{HA}}$ et $\dfrac{\text{HA}}{\text{HC}}$.

Que peut-on en conclure pour les triangles (HBA) et (HAC) ?

Quelle est la nature du triangle (ABC) ?
\item Calculer les longueurs des segments [AB] et [AC] en fonction de $a$.
\item Soit O le milieu du segment [BC] ; la perpendiculaire issue de B à (AO) coupe respectivement (AO) en E et (AH) en D.

Démontrer que les quatre points B, A, E et H appartiennent à un même cercle, $(\gamma)$; préciser le centre I et la mesure du rayon de $(\gamma)$.
\item Démontrer que D, O et I sont alignés.
\item Calculer le sinus, le cosinus et la tangente de $\widehat{\text{CBA}}$.
\end{enumerate}
\end{document}