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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère deux polynômes, $f$ et $g$, définis par les égalités suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 4(2x - 1)^2 - (x + 3)^2\:\text{et}\\
g(x) &=& 9x^2 - 25.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit, ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Résoudre les trois équations distinctes suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$ ;
		\item $g(x) = 0$ ;
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle qui à $x$ associe 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?

Simplifier l'écriture de $h(x)$.

Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ et dire comment on peut donner un encadrement du résultat au moyen de deux nombres décimaux en utilisant les égalités suivantes :
\begin{center}$\np{1905}^2 = \np{3629025}$\quad  et\quad  $\np{1906}^2 = \np{3632836}$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle rectangle en B ; de plus il est isocèle et l'on connaît
\begin{center}BA $=$ BC $= a,$\end{center}

$a$ est un réel positif donné.

Sur la demi-droite d'origine A contenant B, on marque le point D défini par AD $= 3a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC en fonction de $a$.
\item On projette B en E sur (AC), \emph{suivant la direction de} (DC).

En utilisant l'énoncé de Thalès, calculer AE, en fonction de $a$.
\item Soit I le milieu de [BD] et J le milieu de [AC].

Démontrer que (BJ) et (IC) appartiennent à la même direction.
\item Calculer CD.

Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{CDB}}$.

En déduire la distance de I à (OC).
\end{enumerate}
\end{document}