\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nantes juin 1974},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{juin 1974}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=& 3(x - 1)^2 - x^2 +1 + (x - 1)(x + 2)\:\text{et}\\
g(x) &=& 9x^2 - 4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle $q$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition de $q$.
		\item Simplifier q(x) dans son domaine de définition. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $q(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $q(x) = 1$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $q(x) = \frac{- 1}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - \vect{\imath} + 6 \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} + 2 \vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 3 \vect{\imath} + 5 \vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer les coordonnées de ces trois points ; les porter sur une figure propre.

Démontrer que le triangle (A, B, C) est un triangle isocèle, rectangle en A.
\item On appelle H le projeté orthogonal (ou la projection orthogonale) de A sur (BC) ; calculer BH, HC et AH.
\item Calculer le sinus et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.
\item On considère l'application $f$ de $(P)$ dans $(P)$ qui, à chaque point M ayant pour coordonnées $(x~;~y)$, associe le point M$'$ ayant pour coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ définis par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&- x + 2,\\
y'&=& - y - 4.
\end{array}\right.\]

On notera M$' = f$(M) : M$'$ est l'image de M et M est l'antécédent de M$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $(x~;~y)$ en fonction de $\left(x'~;~y'\right)$.
		
En déduire que $f$ est une bijection.
		\item Démontrer qu'il existe un point unique, I, confondu avec son image I = $f$(I) ; indiquer les coordonnées de I.
		\item Calculer $\vect{\text{IM}}$ et $\vect{\text{IM}'}$ en fonction des coordonnées $(x~;~y)$ de M.
		
Que peut-on en conclure pour ces deux vecteurs et pour le point I par rapport au bipoint (M, M$'$) ?

Quelle est la nature de l'application $f$ ? Cette application est-elle une isométrie ?
		\item Calculer les coordonnées de A$' = f$(A), B$' = f$(B), C$' =f$(C) et H$' =f$(H).
		
Quelle est la nature du triangle (A$'$, B$'$, C$'$).

Quel rôle H$'$ joue-t-il dans ce triangle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}