\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nantes juin 1975},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{juin 1975}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Algèbre}\end{center}

\smallskip

Si $x$ désigne un nombre réel, on pose
\[f(x) = 1 - x\quad ; \quad g(x) = \dfrac{1}{7(1 - x)}\quad ; \quad h(x) = 1 - g(x).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition (commun) de $g$ et de $h$.

Écrire $h(x)$ sous la forme du quotient de deux binômes du premier degré.
\item On choisit $m = \dfrac17  \left(2 + \sqrt 3\right)$ ; calculer $f(m) ; g(m)$ et $h(m).$
\item Résoudre les trois équations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = \dfrac{1}{56}$ ;
		\item $g(x) = h(x)$ ;
		\item $h(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ :
\[ x \longmapsto f(x) = 1 - x.\]
		\item Représenter graphiquement sur le même dessin l'application $u$ de $\R$ dans $\R$ définie par les conditions

\[\begin{array}{l c l}
u(x) = 2&\text{pour}&x \leqslant -1\\
u(x) =f(x) &\text{pour}&-1 \leqslant x \leqslant 1\\
u(x) = - f(x) &\text{pour}&1 \leqslant x.
\end{array}\]
		\item Utiliser ces représentations pour résoudre successivement les deux
inéquations :
\[\begin{array}{l l}
(1)&u(x) > f(x)\\
(2)&u(x) \geqslant f(x)
\end{array}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\large Géométrie}\end{center}

Dans le plan euclidien. on trace deux droites perpendiculaires $\Delta$ et $\Delta'$ qui se coupent en O.

Sur $\Delta$ on marque le point A et sur $\Delta'$ on marque le point B avec OA = OB $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AB.
\item Si I désigne le milieu de [AB] comparer les directions des droites (OI) et (AB) et calculer la distance OI.
\item Soit $\gamma$ le cercle dont le centre est I et qui passe par O ; 
soit $\gamma'$ le cercle dont le centre est O et qui passe par I.

Ces deux cercles se coupent en J et K : on marque J de telle façon que A et J
sont dans le même demi-plan de frontière (OI).

Quelle est la nature du quadrilatère (I, J, O, K) ?

Quelle est la nature des triangles (I, J, O) et (I, K, O) ?

Quels sont les écarts angulaires des angles géométriques $\widehat{\text{JOI}}$ et $\widehat{\text{JOK}}$ ?

Quels sont leurs sinus et leurs cosinus ?

Calculer la distance JK.
\item Démontrer que (AJ), (BK) et (OI) sont concourantes.
\item Soit L le point commun à $\Delta$ et (BK) ; soit M le point commun  à v et
(AJ) .

Démontrer que (LM) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{document}