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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&6x^2 + 5x - 4\\
g(x) &=&(4x + 1)^2 - (3 - x)^2
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est égale à l'application polynôme h définie par:
\[h(x) = (3x + 4)(2x - 1).\]
\item Mettre l'application polynôme $g$ sous la forme d'un produit de deux applications polynômes du premier degré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $k$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ qui, à $x$, associe : $k(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $E$ de $k$.
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $E,\: k(x)$ est égal à : $\dfrac{2x - 1}{5x - 2}$.
		\end{enumerate}
\item Dans le plan muni du repère \Oij{} construire les droites D et D' dont les équations sont respectivement:
\begin{center}$2x - y - 1 = 0$ \quad pour $D$ et \quad $5x - y - 2 =0$ pour $D'$.\end{center}

Déterminer graphiquement les coordonnées $\left(x_0~;~y_0\right)$ du point d'intersection de $(D)$ et $(D')$.

Quel est $k\left(x_0\right)$ ?
\end{enumerate}
 

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien, on trace le cercle ($\Gamma$) et deux droites diamétrales 
$\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ qui sont perpendiculaires.

On notera : \begin{tabular}{|l}
O le centre de ($\Gamma$)\\
A et B les points communs à ($\Gamma$) et $\left(\Delta_1\right)$\\
Cet D les points communs à ($\Gamma$) et $\left(\Delta_2\right)$\\
E et F les points communs à ($\Gamma$) et à la médiatrice de [AO].\\
H le milieu de [AO]\\
le rayon de ($\Gamma$) est égal à 6.
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, E, O) est équilatéral. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle (E, A, B) ?
		\item Quelle est la nature du quadruplet (E, A, F, O) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(H,B), $d$(E,B) et $d$(E,F) .
		\item Quelle est la nature du triangle (B, E, F) ?
	\end{enumerate}
\item Calculer le cosinus et le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{EOH}}$ ; en déduire le cosinus et le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{EOB}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit G le symétrique de F par rapport à $\left(\Delta_2\right)$.
		
Démontrer que les triangles (A, O, F) et (B, O, G) sont isométriques.
		\item Quelle est la nature du triangle (E, F, G) ? en conclure que E, O et G sont alignés.
		\item Quelle isométrie transforme le triangle (E, A, O) en le triangle (G, B, O) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}