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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Nantes}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs en faisant apparaître les différentes étapes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $-234,67 - (-678,6)$.
\item $\dfrac37 \times \dfrac{28}{15} \times \dfrac{25}{12}$.
\item $1 - \dfrac{1}{2- \dfrac12}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer les dimensions d'un rectangle dont la longueur est triple de la largeur et dont l'aire est \np{2700}~m$^2$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'équation 

\[6\left(x^2 +8\right)(3x - 4) = 0.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre graphiquement sur un même dessin les deux systèmes suivants : 

\[(1) \quad\left\{\begin{array}{l c l}
x - 2y + 2&=&0\\
2x- y + 1&=&0.
\end{array}\right. \qquad (2)  \quad\left\{\begin{array}{l c l}
x - 2y + 2 &\leqslant &0\\
2x - y + 1&\geqslant &0.
\end{array}\right.\]

Vérifier le resultat pour le système (1).

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD]. 

$\widehat{\text{A}}$ est droit. 

On a AB $= 5$, AD $= 12$ et CD $= 16$. 

Calculer la longueur du côté [BC] et celles des diagonales [AC] et [BD].

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB $= 3$ et AC $= 6$.

Soit C' le point de la demi-droite [AC) tel que AC$' = 7$.

B' est le point d'intersection de la droite (AB) et de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C$'$.

Calculer les longueurs AB$'$ et BC.

Calculer la mesure en degrés, de $\widehat{\text{BAC}}$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points A et J définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A(-3~;~4) \:;\qquad J(-2~;~1).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point B, image du point A par la translation de vecteur $6\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$.
\item Déterminer les coordonnées du point C, symétrique du point A par rapport à J.
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 5 et [AB] un diamètre de ce cercle. 

La médiatrice de [OA] coupe $\mathcal{C}$ en E et D et (OA) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que AEOD est un losange.
		\item Préciser la nature du triangle AEB (justifier la réponse).
		\item Calculer EH.
		\item Calculer la mesure en degrés de l'angle
$\widehat{\text{EBA}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit F le symétrique de O par rapport à D. 

Démontrer que AOF est un triangle rectangle et que AEDF est un parallélogramme.
\item Soit J le milieu de [AF]. 

Montrer que les point A, J, D, H appartiennent à un cercle dont le centre
est le milieu du segment [EF].
\end{enumerate}
\end{document}