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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Chaque résultat est à donner sous sa forme irréductible.

Calculer :

\[a = - \dfrac35 \times \left(\dfrac23 + \dfrac{-1}{4}\right) ;\quad b = \dfrac{-3}{8} \times \dfrac52 ;\quad  c = \dfrac{- \dfrac14}{\dfrac{-15}{16}} - \dfrac35.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{On peut traiter les questions indépendamment les unes des autres.}

\medskip

Soit l'expression

\[f(x) = (x + 7)^2- (3x - 5)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f( -7)$ puis $f\left(\sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ chacune des équations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac23 x = -7$.
\item $3x = \dfrac x3 - 8$.
\item $x^2 + 12 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une boîte parallélépipédique s'ouvre en séparant deux parties coupées suivant la ligne polygonale ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.2,4.5)
\psframe(0.9,0.8)(5.7,3.2)%EF?A
\psline(5.7,0.8)(6.9,1.6)(6.9,4)(5.7,3.2)%DC??
\psline(6.9,4)(2.1,4)(0.9,3.2)(5.7,0.8)%?BAD
\psline[linestyle=dashed](2.1,4)(6.9,1.6)%BC
\psline[linestyle=dashed](0.9,0.8)(2.1,1.6)(6.9,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.6)(2.1,4)
\uput[l](0.9,3.2){A} \uput[u](2.1,4){B} \uput[r](6.9,1.6){C} \uput[dr](5.7,0.8){D} \uput[dl](0.9,0.8){E}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.9,0.4)(5.7,0.4)\uput[d](3.3,0.4){40 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(6.1,0.3)(7.2,1.2)\uput[d](7.25,1){30 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,0.8)(0.4,3.2)\rput{90}(0.2,2){20 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Quelle longueur de ruban adhésif faut-il pour la fermer totalement le long du tracé ABCD ? 

En donner la valeur exacte sous la forme $a\sqrt b + c$, $b$ étant le plus petit nombre entier
naturel possible, puis arrondir au mm.

\emph{Indications } :

\begin{itemize}
\item L'arrondi au millième de $\sqrt 5$ est $2,236$.
\item On peut admettre que : (AE) est perpendiculaire à (ED),

\phantom{On peut admettre que :}AB = DC,

\phantom{On peut admettre que :}AD = BC.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité est le cm.

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle isocèle ABC tel que : AB = AC $= 6$ et BC $= 8$.
\item Soit F un point du segment [AB] tel que: AF $= 2,5$.

La droite parallèle à (BC) passant par F coupe (AC) en E.

Calculer AE. En déduire la nature du triangle AEF{}.
\item Construire le point D tel que : $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
\item Placer le point J tel que :

\[\vect{\text{BJ}} = \dfrac34\vect{\text{BC}}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Une personne veut adhérer à une bibliothèque de prêt. Elle
a le choix entre deux possibilités :

\smallskip

\emph{Première possibilité} : payer 3 F par livre emprunté.

\emph{Deuxième possibilité} : acheter une carte d'abonnement au prix de 9 F{}, valable un mois, puis payer 1 F par livre emprunté.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien devrait-elle payer mensuellement, dans chaque cas, si elle empruntait:
	\begin{enumerate}
		\item 2 livres par mois ?
		\item 5 livres par mois ?
	\end{enumerate}
\item $x$ étant le nombre de livres empruntés par mois, on note : $f(x)$ le prix mensuel demandé avec la première possibilité,
et $g(x)$ le prix mensuel demandé avec la deuxième possibilité.

Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Représenter dans un même repère les applications $f$ et $g$, en choisissant :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 1 livre,
\item sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 2 F.
\end{itemize}

\item Utiliser le graphique pour répondre à la question que se pose le futur adhérent:

\og À partir de combien de livres empruntés par mois, la deuxième possibilité est-elle plus avantageuse que la première ? \fg.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $g(x) \leqslant f(x)$, et retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}
\end{document}