\documentclass[11pt]{article}
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression:

\[A(x) = (x + 3)(3 - 2x) - (x + 3)^2 + 2(x + 3)(x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$.
\item Montrer que

\[A(x) = (x + 3)(- x - 2).\]

\item Résoudre

\[A(x) = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On considère les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives 

\[y = x +3 \qquad \text{et}\qquad  y = - x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $D_1$ et $D_2$.
\item On appelle I le point d'intersection de $D_1$ et $D_2$.

Lire sur le graphique les coordonnées de I.
\item Retrouver, par le calcul, les coordonnées de I.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer et donner les résultats sous forme irréductible.

\[B = \dfrac27 \times \dfrac37, \qquad C = \dfrac{\dfrac43 - \dfrac32}{1 - \dfrac13}.\]

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Placer les points

\begin{center}A(2~;~1,5),\qquad B(5~;~3),\qquad C$( -1~;~7,5)$,\qquad D(3~;~13) \end{center}

dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et de $\vect{\text{AC}}$.
\item Montrer par le calcul que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et  $\vect{\text{AC}}$ sont
orthogonaux.
\item Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
\item Construire le point K tel que
\[\vect{\text{AK}} = \dfrac32\vect{\text{AC}} + \vect{\text{AB}}\]

en laissant les traits de construction apparents.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les données sont en cm.

On donne : AB $= 4$,\qquad AC $= 6$,\qquad AE $= 10$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.4,5.8)
\psline(4.5,5.5)(0.3,3.4)(9.5,1.1)%CAF
\psline(2,5.8)(9.3,0.6)
\psline(1,5.3)(8.5,0)
\uput[l](0.3,3.4){A} \uput[u](2.25,4.4){B} \uput[u](3.28,4.9){C} \uput[dl](5.5,2.1){E} \uput[dl](8.1,1.44){F}
\end{pspicture}
\end{center}

Les droites (BE) et (CF) sont parallèles.

Calculer AF en justifiant le calcul.

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Toutes les dimensions sont données en centimètres.

\medskip

On considère le rectangle FGCD avec FG $= 4 \sqrt 3$ et GC $= 5$.

Sur le côté [GC], on a placé le point B tel que GB $= 3$. 

Sur le côté [FG], on a placé le point E tel que EF = EG et le point
A tel que $\widehat{\text{GBA}} = 30\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4.3,3.)
%\psgrid
\psframe[linewidth=1.3pt](0.3,0.3)(3.8,2.8)%DCGF
\psline(0.3,0.3)(2.1,2.8)%DE
\psline(3.8,1.3)(2.8,2.8)%BA
\psframe(0.3,2.8)(0.5,2.6)
\psarc(3.8,1.3){0.5}{90}{120}
\uput[u](2.8,2.8){A} \uput[r](3.8,1.3){B} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D}
\uput[u](2.1,2.8){E} \uput[ul](0.3,2.8){F} \uput[ur](3.8,2.8){G}
\rput(3.6,2){\footnotesize $30\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que $\sin 30\degres = \dfrac12, \qquad \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt 3}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\cos 30\degres$ à l'aide des longueurs AB et GB.
		
En déduire que AB $= 2\sqrt 3$.
		\item Exprimer $\sin 30\degres$ à l'aide des longueurs AB et AG. 
		
En déduire que AG $= \sqrt 3$.
		\item Calculer la longueur ED (justifier le calcul).
	\end{enumerate}	
\item On veut maintenant calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface ABCDE. (On rappelle que l'aire du triangle hachuré est la moitié de l'aire du rectangle.)

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(3.7,1.5)
\pspolygon[linewidth=1.3pt,fillstyle=vlines](0,0)(0,1.5)(3.7,1.5)
\psline[linewidth=1.3pt](3.7,1.5)(3.7,0)(0,0)
\psframe(0,1.5)(0.2,1.3)
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer l'aire du rectangle FGCD et les aires des triangles rectangles EDF et AGB. 

En déduire l'aire $\mathcal{A}$ cherchée. (On donnera le résultat sous la forme $\dfrac ac \sqrt b$ ($a, b, c$, entiers).
\item On considère maintenant un prisme droit dont la base est la figure ABCDE dont vous venez de calculer l'aire.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.4,4.5)
\pspolygon(0.3,0.3)(1.9,2.7)(2.7,2.7)(3.7,1.2)(3.7,0.3)%DEABC
\psline(3.7,0.3)(6.1,1.8)(6.1,2.7)(3.7,1.2)
\psline(6.1,2.7)(5.1,4.2)(2.7,2.7)
\psline(5.1,4.2)(4.3,4.2)(1.9,2.7)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2.7,1.8)(6.1,1.8)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.8)(4.3,4.2)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.5,0.3)(6.9,1.7)\uput[ul](5.75,1){$h$}
\uput[ul](2.75,2.7){A} \uput[u](3.7,1.2){B} \uput[d](3.7,0.3){C}
\uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[l](1.9,2.7){E} \uput[ur](6.1,1.8){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Rappel}. - Le volume d'un prisme droit se calcule en multipliant l'aire de la base par la hauteur du prisme.

Sachant qu'ici la hauteur est 

\begin{center}CH $= h = 6\sqrt 3$,\end{center}

calculer le volume $V$ du prisme droit dessiné ci-avant.
\item On considère ici le triangle DEH. On donne: EH $= \sqrt{145}$.

Le triangle DEH est-il rectangle ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.4,4.5)
\pspolygon(0.3,0.3)(1.9,2.7)(2.7,2.7)(3.7,1.2)(3.7,0.3)%DEABC
\psline(3.7,0.3)(6.1,1.8)(6.1,2.7)(3.7,1.2)
\psline(6.1,2.7)(5.1,4.2)(2.7,2.7)
\psline(5.1,4.2)(4.3,4.2)(1.9,2.7)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2.7,1.8)(6.1,1.8)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.8)(4.3,4.2)
\psline(1.9,2.7)(6.1,1.8)(0.3,0.3)%EHD
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.5,0.3)(6.9,1.7)\uput[ul](5.75,1){$h$}
\uput[ul](2.75,2.7){A} \uput[u](3.7,1.2){B} \uput[d](3.7,0.3){C}
\uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[l](1.9,2.7){E} \uput[ur](6.1,1.8){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}